Cu ajutorul seturilor tehnologice se modelează procesele de producție, care sunt realizate de sistemul de producție. Fiecare sistem are intrări și ieșiri:
Procesul de producție este prezentat ca un proces de transformare fără ambiguitate a factorilor de producție în produse de producție într-un interval de timp dat. În acest interval de timp, factorii dispar complet și apar produse.
Cu o astfel de modelare - transformarea factorilor în produse - rolul structurii interne a sistemului de producție, organizarea acestuia și metodele de management al producției este complet ascuns.
Observatorii au acces la informații despre starea intrărilor și ieșirilor din sistem. Aceste stări sunt determinate, pe de o parte, de un punct din spațiul bunurilor și factorilor, iar pe de altă parte, starea ieșirilor este determinată de un punct din spațiul ieșirilor.
Modelele spațiale includ mulți factori spațiali, mulți parametri spațiali și multe tehnologii disponibile.
Tehnologia este modalitatea tehnică de transformare a factorilor de producție în produse.
Un proces tehnologic este un set ordonat de doi vectori, unde este vectorul factorilor de producție, este vectorul produselor. Procesul tehnologic este cel mai simplu model de spațiu, care este stabilit dintr-un număr de elemente:
Astfel, procesul tehnologic este descris de un set de (n + m) numere: .
De exemplu, să luăm un computer de tip A și , adică un computer este produs, apoi acest proces tehnologic este descris 7+1=8 numerele.
În practica modelării sistemelor reale de producție se folosește ca primă aproximare ipoteza tehnologiilor liniare.
Linearitatea tehnologiilor presupune o creștere a produselor V cu seturi crescânde de factori U.
Luați în considerare principalele proprietăți ale proceselor tehnologice:
1. Similaritate.
Procesul tehnologic este similar, adică. ~ dacă condiția este îndeplinită: 
, ceea ce înseamnă că - acesta este același proces tehnologic, dar procedând cu intensitate:
Pentru astfel de procese, sistemul de egalități este îndeplinit:
Astfel de procese se află pe același fascicul de tehnologie de producție.
2. Diferența.
Procesele tehnologice diferite se află pe fascicule diferite și nu pot fi convertite unele în altele prin înmulțirea cu un număr pozitiv.
3. Procese tehnologice compozite.
Un proces se numește compus dacă și există, astfel încât .
Un proces care nu este un proces compus se numește proces de bază.
Grinda care trece prin origine în direcția procesului de bază se numește fascicul de bază. Fiecare fascicul de bază corespunde unei tehnologii de bază, iar toate punctele fasciculului de bază reflectă procese tehnologice similare.
Prin definiție, un flux de lucru de bază nu poate fi exprimat în termeni de o combinație liniară a altor fluxuri de lucru.
În octantul pozitiv, se poate plasa un hiperplan care decupează segmente de unitate din fiecare coordonată.
Acest lucru vă permite să vizualizați tehnologia de producție.
Să arătăm posibilele intersecții ale hiperplanului prin raze tehnologice.
1) Singura tehnologie disponibilă este de bază.
2) Apariția unei noi tehnologii de bază suplimentare.
3) Combinație liniară a două tehnologii de bază.
4) A treia tehnologie de bază suplimentară.
5) Posibilitatea formării de tehnologii aflate în interiorul zonei triunghiulare.
6) Două zone triunghiulare cu șase tehnologii de bază.
7) Tehnologii de combinare - un hexagon convex.
8) Este posibil cazul cu un număr infinit de tehnologii de bază.
În aceste imagini grafice, toate punctele interne și de limită, cu excepția vârfurilor, reflectă procese tehnologice compozite, iar mulțimea tuturor proceselor tehnologice este numită mulțime tehnologică. Z.
Seturile tehnologice au următoarele proprietăți:
1. Neexercitarea cornului abundentei.
(Ø, V) Z, prin urmare, V=Ø.
(Ø, Ø) Zînseamnă inacțiune.
2. Mulțimea tehnologică este convexă, iar procesele ale căror raze se află la limita acestui set se pot amesteca între ele.
3. Setul tehnologic este limitat de sus din cauza resurselor economice limitate.
4. Setul tehnologic este închis, iar tehnologiile eficiente se află la limita acestui set.
O proprietate specifică a seturilor tehnologice este existența unor procese ineficiente.
Dacă există, atunci orice proces tehnologic care satisface condiția (pentru factori), (pentru produse) este posibil.
Există ( ,Ø) Z, ceea ce înseamnă distrugerea completă a factorilor de producție. Nu apare deloc produse în el.
Procesul tehnologic este mai eficient decât dacă și/sau .
FUNCȚIA DE PRODUCȚIE.
Descrierea matematică a unui proces eficient poate fi convertită într-o funcție de producție prin agregarea factorilor de producție, precum și agregarea produselor de producție într-un singur produs.
Ministerul Educației și Științei al Federației Ruse
Universitatea de Stat Iaroslav Înțeleptul Novgorod
Rezumat după disciplină:
management
Completat de un student gr.6061 zo
Makarova S.V.
Primit de Suchkov A.V.
Velikiy Novgorod
1. PROCESUL DE PRODUCȚIE ȘI ELEMENTELE SĂU.
Baza producției și activității economice a întreprinderii este procesul de producție, care este o combinație de procese de muncă interdependente și procese naturale care vizează fabricarea anumitor tipuri de produse.
Organizarea procesului de producție constă în combinarea oamenilor, uneltelor și obiectelor de muncă într-un singur proces de producere a bunurilor materiale, precum și în asigurarea unei îmbinări raționale în spațiu și timp a proceselor principale, auxiliare și de serviciu.
Procesele de producție la întreprinderi sunt detaliate după conținut (proces, etapă, operare, element) și locul de implementare (întreprindere, redistribuire, atelier, departament, secție, unitate).
Ansamblul proceselor de producție care au loc în întreprindere este un proces total de producție. Procesul de producție al fiecărui tip individual de produs al întreprinderii se numește proces privat de producție. La rândul lor, într-un proces de producție privat, procesele parțiale de producție pot fi distinse ca elemente complete și separate din punct de vedere tehnologic ale unui proces de producție privat care nu sunt elemente primare ale procesului de producție (este de obicei realizat de lucrători de diferite specialități folosind echipamente pentru diverse scopuri).
Ca element principal al procesului de producție ar trebui luat în considerare operare tehnologica- o parte omogenă din punct de vedere tehnologic a procesului de producție, realizată la un singur loc de muncă. Procesele parțiale separate din punct de vedere tehnologic sunt etape ale procesului de producție.
Procesele parțiale de producție pot fi clasificate după mai multe criterii:
Pentru scopul propus;
Natura curgerii în timp;
Metoda de influențare a obiectului muncii;
Natura muncii implicate.
Procesele sunt clasificate în funcție de scop. principal, auxiliar și de serviciu.
Principal procese de producție - procese de transformare a materiilor prime și materialelor în produse finite, care sunt principalele, de profil
produse pentru aceasta firma. Aceste procese sunt determinate de tehnologia de fabricație a acestui tip de produs (prepararea materiilor prime, sinteza chimică, amestecarea materiilor prime, ambalarea și ambalarea produselor).
Auxiliar procesele de producţie vizează fabricarea produselor sau prestarea de servicii pentru a asigura derularea normală a principalelor procese de producţie. Astfel de procese de producție au propriile lor obiecte de muncă, diferite de obiectele de muncă ale principalelor procese de producție. De regulă, acestea sunt efectuate în paralel cu principalele procese de producție (reparații, ambalare, unelte).
Servire procesele de producţie asigură crearea condiţiilor normale pentru derularea proceselor de producţie principale şi auxiliare. Nu au propriul obiect de muncă și procedează, de regulă, secvenţial cu procesele principale şi auxiliare, intercalate cu acestea (transportul materiilor prime şi produselor finite, depozitarea acestora, controlul calităţii).
Principalele procese de producție din principalele ateliere (secții) ale întreprinderii formează producția principală a acesteia. Procesele de producție auxiliare și, respectiv, de servicii din magazinele auxiliare și de servicii - formează o economie auxiliară.
Rolul diferit al proceselor de producție în procesul general de producție determină diferențele în mecanismele de management ale diferitelor tipuri de unități de producție. În același timp, clasificarea proceselor parțiale de producție în funcție de scopul vizat poate fi efectuată numai în raport cu un anumit proces privat.
Combinând procesele principale, auxiliare, de serviciu și alte procese într-o anumită secvență formează structura procesului de producție.
Procesul principal de producție reprezintă procesul și producția produselor principale, care include procese naturale, procese tehnologice și de lucru, precum și așteptarea inter-operațională.
Proces natural - un proces care duce la o schimbare a proprietăților și compoziției obiectului muncii, dar se desfășoară fără participarea omului (de exemplu, la fabricarea anumitor tipuri de produse chimice).
Procesele naturale de producție pot fi considerate ca pauze tehnologice necesare între operații (răcire, uscare, îmbătrânire etc.)
Tehnologic procesul este un set de procese, în urma cărora au loc toate schimbările necesare în obiectul muncii, adică se transformă într-un produs finit.
Operațiunile auxiliare contribuie la implementarea operațiunilor principale (transport, control, sortare a produselor etc.).
Proces de muncă - un set de toate procesele de muncă (operații principale și auxiliare).
Structura procesului de producție se modifică sub influența tehnologiei echipamentului utilizat, a diviziunii muncii, a organizării producției etc.
Pozare interoperațională - pauze prevăzute de procesul tehnologic.
După natura curgerii în timp, ele disting continuuși periodic Procese de producție. În procesele continue, nu există întreruperi în procesul de producție. Operațiunile de întreținere a producției se desfășoară simultan sau în paralel cu operațiunile principale. În procesele periodice, execuția operațiunilor de bază și de întreținere are loc secvențial, din cauza cărora procesul principal de producție este întrerupt în timp.
După metoda impactului asupra obiectului muncii, ei disting mecanice, fizice, chimice, biologiceși alte tipuri de procese de producție.
După natura muncii utilizate, procesele de producţie se clasifică în automat, mecanizat și manual.
Principiile organizării procesului de producție sunt punctele de plecare pe baza cărora se realizează construcția, exploatarea și dezvoltarea procesului de producție.
Există următoarele principii de organizare a procesului de producție:
diferențiere - împărțirea procesului de producție în părți separate (procese, operațiuni, etape) și repartizarea acestora către diviziile relevante ale întreprinderii;
combinare - combinarea totală sau parțială a diferitelor procese de fabricare a anumitor tipuri de produse în cadrul aceluiași site, atelier sau producție;
concentrare - concentrarea anumitor operațiuni de producție pentru fabricarea de produse omogene din punct de vedere tehnologic sau efectuarea de lucrări omogene funcțional la locurile de muncă, șantierele, atelierele sau unitățile de producție individuale ale întreprinderii;
specializare - atribuirea fiecărui loc de muncă și fiecărei divizii a unei game strict limitate de lucrări, operațiuni, piese și produse;
universalizare - fabricarea de piese și produse dintr-o gamă largă sau efectuarea unor operațiuni de producție eterogene la fiecare loc de muncă sau unitate de producție;
proporționalitate - o combinație de elemente individuale ale procesului de producție, care se exprimă în anumite relații cantitative între ele;
paralelism - prelucrarea simultană a diferitelor părți dintr-un lot pentru o anumită operațiune la mai multe locuri de muncă etc.;
rectitudine - implementarea tuturor etapelor și operațiunilor procesului de producție în condițiile celei mai scurte căi de trecere a obiectului muncii de la început până la sfârșit;
Ritm - repetarea prin perioade stabilite de timp a tuturor proceselor individuale de producție și a unui singur proces de producere a unui anumit tip de produs.
Principiile de mai sus de organizare a producției în practică nu funcționează izolat unele de altele, ele sunt strâns împletite în fiecare proces de producție. Principiile organizării producției se dezvoltă inegal - într-o perioadă sau alta, unul sau altul iese în prim-plan sau capătă o importanță secundară.
Dacă combinarea spațială a elementelor procesului de producție și a tuturor varietăților acestuia este implementată pe baza formării structurii de producție a întreprinderii și a subdiviziunilor sale, organizarea proceselor de producție în timp se exprimă prin stabilirea ordinii de performanță individuală. operațiuni logistice, îmbinând rațional timpul de execuție a diferitelor tipuri de lucrări, stabilirea standardelor de calendar și planificare pentru deplasarea obiectelor de muncă.
Baza construirii unui sistem eficient de logistică de producție este programul de producție, format pe baza sarcinii de satisfacere a cererii consumatorilor și de a răspunde la întrebările: cine, ce, unde, când și în ce cantitate va fi produsă (produs). Programul de producție vă permite să stabiliți caracteristicile volumetrice și temporale ale fluxurilor de materiale diferențiate pentru fiecare unitate structurală de producție.
Metodele utilizate pentru alcătuirea programului de producție depind de tipul de producție, precum și de caracteristicile cererii și parametrii comenzilor pot fi unic, lot mic, serial, lot mare, masă.
Caracteristica tipului de producție este completată de caracteristica ciclului de producție - aceasta este perioada de timp dintre începutul și sfârșitul procesului de producție în raport cu produse specifice din cadrul sistemului logistic (întreprindere).
Ciclul de producție constă în timpul de lucru și timpul de pauză în fabricarea produselor.
La rândul său, perioada de lucru este formată din timpul tehnologic principal, timpul de efectuare a transportului în operațiuni de control și timpul de ridicare.
Timpul pauzelor este împărțit în timpul pauzelor interoperaționale, intersecționale și alte pauze.
Durata ciclului de producție depinde în mare măsură de caracteristicile mișcării fluxului de material, care poate fi secvenţial, paralel, paralel-serial.
În plus, durata ciclului de producție este influențată și de formele de specializare tehnologică a unităților de producție, de sistemul de organizare a proceselor de producție în sine, de progresivitatea tehnologiei utilizate și de nivelul de unificare a produselor.
Ciclul de producție include și timpul de așteptare - acesta este intervalul din momentul primirii unei comenzi până în momentul în care începe să fie executată, pentru a minimiza ceea ce este important să se determine inițial lotul optim de produse - un lot la care costul pe produsul este valoarea minimă.
Pentru a rezolva problema alegerii lotului optim, se acceptă în general că costul de producție constă în costuri directe de producție, costuri de stocare a stocurilor și costuri de schimbare a echipamentelor și timpi de nefuncționare la schimbarea loturilor.
În practică, lotul optim este adesea determinat prin calcul direct, dar la formarea sistemelor logistice este mai eficient să se utilizeze metode de programare matematică.
În toate domeniile de activitate, dar mai ales în logistica producției, sistemul de norme și standarde este de o importanță capitală. Include atât norme extinse, cât și detaliate privind consumul de materiale, energie, utilizarea echipamentelor etc.
2. Metode de rezolvare a problemei transportului.
Problema transportului (clasic)- problema planului optim de transport al unui produs omogen de la puncte omogene de disponibilitate la puncte omogene de consum pe vehicule omogene (cantitate prestabilita) cu date statice si abordare liniara (acestea sunt principalele conditii ale problemei).
Pentru sarcina clasică de transport se disting două tipuri de sarcini: criteriul costului (realizarea unui minim de costuri de transport) sau distanțe și criteriul timpului (timpul minim alocat transportului).
Istoricul căutării metodelor de rezolvare
Problema a fost formalizată pentru prima dată de matematicianul francez Gaspard Monge v 1781 an . Principalul avans s-a făcut în câmpuri în timpul Marele Război Patriotic matematician și economist sovietic Leonid Kantorovich . Prin urmare, uneori se numește această problemă sarcina de transport Monge - Kantorovich.
Caracteristicile proceselor inflaționiste în Rusia modernă.
1. Conceptul de producție și PF. Set de productie.
2. Problema maximizării profitului
3. Echilibrul producătorului. Progres tehnic
4. Problema minimizării costurilor.
5. Agregarea în teoria producţiei. Echilibrul firmei și industriei în perioada d/av
(auto)aprovizionare de firme competitive cu obiective alternative
Productie- activitate care vizează producerea cantităţii maxime de bunuri materiale, depinde de numărul de factori de producţie utilizaţi, dat de aspectul tehnologic al producţiei.
Orice proces tehnologic poate fi reprezentat folosind vectorul ieșirilor nete, care va fi notat cu y. Dacă, conform acestei tehnologii, firma produce produsul i-lea, atunci coordonata i-a a vectorului y va fi pozitivă. Dacă, dimpotrivă, produsul i-lea este cheltuit, atunci această coordonată va fi negativă. Dacă un anumit produs nu este consumat și nu este produs conform acestei tehnologii, atunci coordonatele corespunzătoare va fi egală cu 0.
Mulțimea tuturor vectorilor de producție netă disponibili din punct de vedere tehnologic pentru o firmă dată va fi numită mulțimea de producție a firmei și notat cu Y.
Proprietățile setului de producție:
1. Setul de producție nu este gol, adică Firma are acces la cel puțin un proces tehnologic.
2. Setul de producție este închis.
3. Absența unei „cornucopia”: dacă y 0 și y ∊Y, atunci y=0. Nu poți produce ceva fără să cheltuiești nimic (nu y<0, т.е. ресурсов).
4. Posibilitate de inactivitate (lichidare): 0∊Y. în realitate, pot exista costuri necuvenite.
5. Libertatea de a cheltui: y∊Y și y` y, apoi y`∊Y. Setul de producție include nu numai cele optime, ci și tehnologii cu producții/costuri cu resurse mai mici.
6. ireversibilitate. Dacă y∊Y și y 0, atunci –y Y. Dacă 1 din al doilea bun poate fi produs din 2 unități din primul bun, atunci procesul invers nu este posibil.
7. Convexitate: dacă y`∊Y, atunci αy + (1-α)y` ∊ Y pentru toate α∊. Convexitate strictă: pentru toate α∊(0,1). Proprietatea 7 permite combinarea tehnologiilor pentru a obține alte tehnologii disponibile.
8. Revenirea la scară:
Dacă, în termeni procentuali, volumul factorilor utilizați s-a modificat cu ∆N, iar modificarea corespunzătoare a producției a fost ∆Q, atunci au loc următoarele situații:
- ∆N = ∆Q există un randament proporțional (o creștere a numărului de factori a dus la o creștere corespunzătoare a producției)
- ∆N< ∆Q există randamente în creștere (economii de scară pozitive) – i.e. producția a crescut într-o proporție mai mare decât a crescut numărul de intrări
- ∆N > ∆Q există randamente descrescătoare (economii de scară negative) – i.e. o creștere a costurilor duce la o creștere procentuală mai mică a producției
Efectul de scară este relevant pe termen lung. Dacă creșterea scarei producției nu duce la o modificare a productivității muncii, avem de-a face cu randamente la scară neschimbate. Rentabilitatea la scară descrescătoare este însoțită de o scădere a productivității muncii, în timp ce randamentele crescătoare la scară sunt însoțite de creșterea acesteia.
Dacă setul de bunuri care sunt produse este diferit de setul de resurse care sunt utilizate și este produs un singur bun, atunci setul de producție poate fi descris folosind o funcție de producție.
funcția de producție(PF) - reflectă relația dintre producția maximă și o anumită combinație de factori (muncă și capital) și la un anumit nivel de dezvoltare tehnologică a societății.
Q=f(f1,f2,f3,...fn)
unde Q este producția firmei pentru o anumită perioadă de timp;
fi - cantitatea de i-a resursă utilizată în producerea produselor;
În general, există trei factori de producție: muncă, capital și materiale. Ne restrângem la analiza a doi factori: munca (L) și capitalul (K), apoi funcția de producție ia forma: Q = f (K, L).
Tipurile de PF pot varia în funcție de natura tehnologiei și pot fi reprezentate în trei forme:
PF liniar de forma y = ax1 + bx2 se caracterizează prin reveniri constante la scară.
Leontief PF - în care resursele se completează reciproc, combinația lor este determinată de tehnologie, iar factorii de producție nu sunt interschimbabili.
PF Cobb-Douglas- o funcţie în care factorii de producţie utilizaţi au proprietatea de interschimbabilitate. Vedere generală a funcției:
Unde A este coeficientul tehnologic, α este coeficientul de elasticitate a muncii și β este coeficientul de elasticitate a capitalului.
Dacă suma exponenților (α + β) este egală cu unu, atunci funcția Cobb-Douglas este liniar omogenă, adică prezintă randamente constante atunci când scara producției se modifică.
Pentru prima dată, funcția de producție a fost calculată în anii 1920 pentru industria prelucrătoare din SUA, sub formă de egalitate.
Pentru Cobb-Douglas PF, este adevărat:
1. De când a< 1 и b < 1, предельный продукт каждого фактора меньше среднего продукта (МРК < АРК и MPL < APL).
2. Întrucât derivatele secunde ale funcției de producție față de muncă și capital sunt negative, se poate argumenta că această funcție este caracterizată de un produs marginal în scădere atât al muncii cât și al capitalului.
3. Odată cu scăderea valorii MRTSL, K scade treptat. Aceasta înseamnă că izocuantele funcției de producție au o formă standard: sunt izocuante netede cu pantă negativă, convexe față de origine.
4. Această funcție este caracterizată printr-o elasticitate de substituție constantă (egală cu 1).
5. Funcția Cobb-Douglas poate caracteriza orice tip de reveniri la scară, în funcție de valorile parametrilor a și b
6. Funcția luată în considerare poate servi pentru a descrie diferite tipuri de progres tehnic.
7 Parametrii de putere ai funcției sunt coeficienții de elasticitate a producției pentru capital (a) și pentru muncă (b), astfel încât ecuația pentru rata de creștere a producției (8.20) pentru funcția Cobb-Douglas ia forma GQ = Gz + aGK + bGL. Parametrul a, astfel, caracterizează, parcă, „contribuția” capitalului la creșterea producției, iar parametrul b caracterizează „contribuția” muncii.
PF se bazează pe o serie de „funcții de producție”. Acestea tratează efectul producției în trei cazuri: (1) o creștere proporțională a tuturor costurilor, (2) o modificare a structurii costurilor cu producție constantă, (3) o creștere a unui factor de producție cu restul neschimbat. cazul (3) se referă la perioada de scurtă durată.
Funcția de producție cu un factor variabil este:
Vedem că cea mai eficientă modificare a factorului variabil X se observă în segmentul de la punctul A la punctul B. Aici, produsul marginal (MP), ajuns la valoarea sa maximă, începe să scadă, produsul mediu (AR) încă crește, produsul total (TR) primește cea mai mare creștere.
Legea randamentelor descrescatoare(legea produsului marginal descrescător) - definește o situație în care realizarea unor volume de producție duce la o scădere a producției de produse finite pe unitatea suplimentară de resursă introdusă.
De regulă, un anumit volum poate fi produs prin diferite metode de producție. Acest lucru se datorează faptului că factorii de producție sunt interschimbabili într-o anumită măsură. Este posibil să se tragă izocuante corespunzătoare tuturor metodelor de producție necesare producției într-un volum dat. Ca rezultat, obținem o hartă izocuantă care caracterizează relația dintre toate combinațiile posibile de dimensiuni de intrări și de ieșire și, prin urmare, este o ilustrare grafică a funcției de producție.
izocuanta ( linia de producție egală - izocuanta) - o curbă care reflectă toate combinațiile de factori de producție care asigură aceeași ieșire.
Setul de izocuanți, fiecare dintre ele indicând producția maximă obținută prin utilizarea anumitor combinații de resurse, se numește hartă izocuantă. Cu cât izocuanta este mai departe de origine, cu atât mai multe resurse sunt implicate în metodele de producție situate pe ea și cu atât dimensiunile de ieșire care sunt caracterizate de această izocuanta sunt mai mari (Q3> Q2> Q1).
Izocuanta și forma sa reflectă dependența dată de PF. Pe termen lung, există o anumită complementaritate (completitudine) a factorilor de producție, dar fără o scădere a producției, este de asemenea probabilă o anumită interschimbabilitate a acestor factori de producție. Astfel, se pot folosi diverse combinații de resurse pentru a produce un bun; este posibil să se producă acest bun folosind mai puțin capital și mai multă muncă și invers. În primul caz, producția este considerată eficientă din punct de vedere tehnic în comparație cu al doilea caz. Cu toate acestea, există o limită la cât de multă muncă poate fi înlocuită cu mai mult capital fără a reduce producția. Pe de altă parte, există o limită a utilizării muncii manuale fără utilizarea mașinilor. Vom lua în considerare izocuanta din zona de substituție tehnică.
Nivelul de interschimbabilitate al factorilor reflectă indicatorul rata marginală de substituție tehnică. - proporția în care un factor poate fi înlocuit cu altul menținând aceeași producție; reflectă panta izocuantei.
MRTS = - ∆K / ∆L = MP L / MP K
Pentru ca producția să rămână neschimbată atunci când se modifică numărul de factori de producție utilizați, cantitățile de muncă și de capital trebuie să se schimbe în direcții diferite. Dacă valoarea capitalului este redusă (AK< 0), то количество труда должно увеличиваться (AL >0). Între timp, rata marginală a substituției tehnice este pur și simplu proporția în care un factor de producție poate fi înlocuit cu altul și, ca atare, este întotdeauna pozitivă.
2. Seturi de producție și funcții de producție
2.1. Seturi de producție și proprietățile acestora
Luați în considerare cel mai important participant la procesele economice - un producător individual. Producătorul își realizează obiectivele doar prin consumator și, prin urmare, trebuie să ghicească, să înțeleagă ce vrea și să-și satisfacă nevoile. Vom presupune că există n bunuri diferite, cantitatea celei de-a n-a bunuri se notează cu x n, apoi un anumit set de bunuri este notat cu X = (x 1 , ..., x n). Vom lua în considerare numai cantități nenegative de mărfuri, deci xi 0 pentru orice i = 1, ..., n sau X > 0. Mulțimea tuturor mulțimilor de bunuri se numește spațiul bunurilor C. Mulțimea bunurilor poate fi tratat ca un coș în care aceste bunuri se află în cantitatea corespunzătoare.
Fie ca economia să funcționeze în spațiul mărfurilor С = (X = (x 1 , x 2 , …, x n): x 1 , …, x n 0). Spațiul produs este format din vectori n-dimensionali nenegativi. Considerăm acum un vector T de dimensiunea n, ale cărui prime m componente sunt nepozitive: x 1 , …, xm 0, iar ultimele (nm) componente sunt nenegative: xm +1 , …, xn 0 Vectorul X = (x 1 ,…, xm ) îl numim vector de cost, iar vectorul Y = (x m+1 , …, x n) – vector de eliberare. Se numește vectorul T = (X,Y). vector de intrare-ieșire sau tehnologie.
În sensul său, tehnologia (X,Y) este o modalitate de procesare a resurselor în produse finite: prin „amestecarea” resurselor în cantitate de X, obținem produse în cantitate de Y. Fiecare producător specific este caracterizat de un anumit set τ de tehnologii, care se numește set de productie. Un set umbrit tipic este prezentat în Fig. 2.1. Un anumit producător cheltuiește un bun pentru a produce altul.
Orez. 2.1. Set de productie
Setul de producție reflectă amploarea capacităților producătorului: cu cât este mai mare, cu atât posibilitățile sale sunt mai largi. Setul de producție trebuie să îndeplinească următoarele condiții:
este închis - aceasta înseamnă că, dacă vectorul de intrare-ieșire T este aproximat în mod arbitrar precis de vectori din τ, atunci T aparține lui τ (dacă toate punctele vectorului T se află în τ, atunci Tτ vezi Fig. 2.1 punctele C și B);
în τ(-τ) = (0), adică dacă Tτ, T ≠ 0, atunci -Тτ – costurile și producția nu pot fi interschimbate, adică producția este un proces ireversibil (mulțimea – τ este în al patrulea cadran , unde y este 0);
multimea este convexa, aceasta presupunere duce la o scadere a randamentului resurselor prelucrate cu o crestere a volumelor de productie (la o crestere a ratelor de consum a costurilor pentru produsele finite). Deci, din fig. 2.1 este clar că y/x scade pe măsură ce x -. În special, ipoteza convexității conduce la o scădere a productivității muncii cu o creștere a producției.
Adesea, convexitatea pur și simplu nu este suficientă și atunci este necesară o convexitate strictă a setului de producție (sau a unei părți a acestuia).
2.2. Curba posibilităților de producție
și costuri de oportunitate
Conceptul considerat de ansamblu de producție se distinge printr-un grad ridicat de abstractizare și, datorită generalității sale extreme, este de puțin folos pentru teoria economică.
Luați în considerare, de exemplu, Fig. 2.1. Să începem cu punctele B și C. Costurile acestor tehnologii sunt aceleași, dar rezultatul este diferit. Producătorul, dacă nu este lipsit de bun simț, nu va alege niciodată tehnologia B, deoarece există o tehnologie C mai bună. În acest caz (vezi Fig. 2.1), găsim pentru fiecare x 0 punctul cel mai înalt (x, y). ) în setul de producţie . Evident, la costul x, tehnologia (x, y) este cea mai bună. Fără tehnologie (x, b) c b funcție de producție. Definiția exactă a funcției de producție este:
Y = f(x)(x, y) τ, iar dacă (x, b) τ și b y, atunci b = x .
Din fig. 2.1 este clar că pentru orice x 0 un astfel de punct y = f(x) este unic, ceea ce, de fapt, ne permite să vorbim de o funcție de producție. Dar situația este atât de simplă dacă este produs un singur produs. În cazul general, pentru vectorul cost X notăm mulţimea M x = (Y:(X,Y)τ). Setul M x - este ansamblul tuturor rezultatelor posibile la costuri X. În această mulțime, luați în considerare „curba” posibilităților de producție K x = (YM x: dacă ZM x și Z Y, atunci Z = X), adică K x - acestea sunt multe dintre cele mai bune versiuni, care sunt mai bune decât niciuna. Dacă sunt produse două bunuri, atunci aceasta este o curbă; dacă sunt produse mai mult de două bunuri, atunci aceasta este o suprafață, un corp sau un set de dimensiuni și mai mari.
Deci, pentru orice vector de cost X, toate cele mai bune rezultate se află pe curba posibilităților de producție (suprafață). Prin urmare, din motive economice, producătorul trebuie să aleagă tehnologia de acolo. Pentru cazul eliberării a două mărfuri y 1 , y 2 imaginea este prezentată în fig. 2.2.
Dacă operăm numai cu indicatori fizici (tone, metri etc.), atunci pentru un vector de cost dat X, trebuie doar să alegem vectorul de ieșire Y pe curba posibilităților de producție, dar este totuși imposibil să decidem ce ieșire specifică să alege. Dacă mulțimea de producție τ în sine este convexă, atunci M x este de asemenea convex pentru orice vector de cost X. În cele ce urmează, vom avea nevoie de convexitatea strictă a mulțimii M x. În cazul eliberării a două mărfuri, aceasta înseamnă că tangenta la curba posibilităților de producție K x are un singur punct comun cu această curbă.
Orez. 2.2. Curba posibilităților de producție
Luați în considerare acum întrebarea așa-zisului costuri de oportunitate. Să presupunem că ieșirea este fixă în punctul A(y 1 , y 2), vezi fig. 2.2. Acum a devenit necesară creșterea producției celui de-al doilea bun cu y 2 , folosind, desigur, setul anterior de costuri. Acest lucru se poate face, așa cum se arată în fig. 2.2, transferarea tehnologiei la punctul B, pentru care, cu o creștere a producției celui de-al doilea produs cu y 2, va fi necesară reducerea producției primului produs cu y 1 .
imputatecheltuielia primului articol în raport cu al doilea la punct A numit
. Dacă curba posibilităților de producție este dată de ecuația implicită F(y 1 ,y 2) = 0, atunci δ 1 2 (A) = (F/y 2)/(F/y 1), unde derivatele parțiale sunt luate la punctul A. Dacă te uiți îndeaproape la cifra luată în considerare, poți găsi un model curios: la deplasarea în jos a curbei posibilităților de producție de la stânga, costurile de oportunitate scad de la valori foarte mari la valori foarte mici. .
2.3. Funcțiile de producție și proprietățile acestora
O funcție de producție este un raport analitic care leagă costurile variabile (factori, resurse) cu valoarea producției. Din punct de vedere istoric, una dintre primele lucrări privind construcția și utilizarea funcțiilor de producție a fost lucrarea de analiză a producției agricole din Statele Unite. În 1909, Mitcherlich a propus o funcție de producție neliniară: îngrășământ - randament. Independent de el, Spillman a propus o ecuație a randamentului exponențial. Pe baza acestora au fost construite o serie de alte funcții de producție agrotehnică.
Funcțiile de producție sunt concepute pentru a modela procesul de producție al unei anumite unități economice: o firmă individuală, industrie sau întreaga economie a statului în ansamblu. Cu ajutorul funcțiilor de producție, sunt rezolvate următoarele sarcini:
evaluarea returnării resurselor în procesul de producție;
prognozarea creșterii economice;
dezvoltarea de opțiuni pentru un plan de dezvoltare a producției;
optimizarea funcţionării unei unităţi economice supuse unui anumit criteriu şi constrângeri de resurse.
Vedere generală a funcției de producție: Y = Y(X 1 , X 2 , …, X i , …, X n), unde Y este un indicator care caracterizează rezultatele producției; X este un indicator factor al i-a resursă de producție; n este numărul de indicatori factori.
Funcțiile de producție sunt definite de două seturi de ipoteze: matematice și economice. Din punct de vedere matematic, se presupune că funcția de producție este continuă și dublu diferențiabilă. Ipotezele economice sunt următoarele: în absența a cel puțin unei resurse de producție, producția este imposibilă, adică Y(0, X 2 , …, X i , …, X n) =
Y(X 1 , 0, …, X i , …, X n) = …
Y(X 1 , X 2 , …, 0, …, X n) = …
Y(X 1 , X 2 , …, X i , …, 0) = 0.
Cu toate acestea, nu este posibil să se determine în mod satisfăcător singura producție Y pentru costurile date X numai cu ajutorul indicatorilor naturali: alegerea noastră s-a restrâns doar la „curba” posibilităților de producție K x . Din aceste motive, a fost dezvoltată doar teoria funcțiilor de producție ale producătorilor, a cărei producție poate fi caracterizată printr-o singură valoare - fie volumul producției, dacă se produce un singur produs, fie valoarea totală a întregii producții.
Spațiul de cost este m-dimensional. Fiecare punct din spațiul costului X \u003d (x 1, ..., x m) corespunde singurei producții maxime (a se vedea Fig. 2.1) produsă folosind aceste costuri. Această relație se numește funcție de producție. Cu toate acestea, funcția de producție este de obicei înțeleasă într-un mod mai puțin restrictiv, iar orice relație funcțională între input și output este considerată o funcție de producție. În cele ce urmează, vom presupune că funcția de producție are derivatele necesare. Se presupune că funcția de producție f(X) satisface două axiome. Prima dintre acestea afirmă că există un subset al spațiului de cost numit zona economica E, în care o creștere a oricărui tip de intrare nu duce la o scădere a producției. Astfel, dacă X 1 , X 2 sunt două puncte ale acestei zone, atunci X 1 X 2 implică f(X 1) f(X 2). În formă diferențială, aceasta se exprimă prin faptul că în această regiune toate derivatele parțiale primare ale funcției sunt nenegative: f/x 1 ≥ 0 (pentru orice funcție crescătoare, derivata este mai mare decât zero). Aceste derivate se numesc produse marginale, iar vectorul f/X = (f/x 1 , …, f/x m) – vector al produselor marginale (afișează de câte ori se va modifica rezultatul cu o modificare a costurilor).
A doua axiomă afirmă că există o submulțime S convexă a domeniului economic pentru care submulțimile (XS:f(X) a) sunt convexe pentru tot a 0. În această submulțime S, matricea Hesse compusă din derivate secunde ale funcției f(X) , este definită negativ, prin urmare, 2 f/x 2 i
Să ne oprim asupra conținutului economic al acestor axiome. Prima axiomă afirmă că funcția de producție nu este o funcție complet abstractă inventată de un matematician teoretician. Ea reflectă o afirmație importantă din punct de vedere economic, incontestabilă și în același timp banală, chiar dacă nu în întregul său domeniu de definire, ci doar în parte: vÎntr-o economie rezonabilă, o creștere a inputurilor nu poate duce la o scădere a producției. Din a doua axiomă, să explicăm doar sensul economic al cerinței ca derivata 2 f/x 2 i să fie mai mică decât zero pentru fiecare tip de cost. Această proprietate se numește în economie pekonom de randamente descrescătoare sau randamente descrescătoare: pe măsură ce costurile cresc, începând de la un anumit moment (la intrarea în zona S!), cuprodusul marginal începe să scadă. Exemplul clasic al acestei legi este adăugarea din ce în ce mai multă forță de muncă la producția de cereale pe o bucată fixă de pământ. În cele ce urmează, se înțelege că funcția de producție este considerată pe un domeniu S în care ambele axiome sunt valabile.
Este posibil să compuneți funcția de producție a unei întreprinderi date fără să știți măcar nimic despre ea. Este necesar doar să puneți un contor (o persoană sau un fel de dispozitiv automat) la porțile întreprinderii, care va înregistra X - resursele importate și Y - cantitatea de produse pe care întreprinderea le-a produs. Dacă acumulați o mulțime de astfel de informații statice, luați în considerare munca întreprinderii în diferite moduri, atunci puteți prezice producția, cunoscând doar volumul resurselor importate, iar aceasta este cunoașterea funcției de producție.
2.4. Funcția de producție Cobb-Douglas
Luați în considerare una dintre cele mai comune funcții de producție - funcția Cobb-Douglas: Y = AK L , unde A, , > 0 sunt constante, +
Y/K = AαK α -1 L β > 0, Y/L = AβK α L β -1 > 0.
Negativitatea derivatelor secundare parțiale, adică scăderea produselor marginale: Y 2 /K 2 = Aα(α–1)K α -2 L β 0.
Să trecem la principalele caracteristici economice și matematice ale funcției de producție Cobb-Douglas. Productivitatea medie a muncii definit ca y = Y/L – raportul dintre volumul de produs produs și cantitatea de muncă cheltuită; randamentul mediu al activelor k = Y/K - raportul dintre volumul produsului produs și valoarea fondurilor.
Pentru funcţia Cobb-Douglas, productivitatea medie a muncii y = AK L , iar datorită condiţiei cu creşterea costurilor muncii, productivitatea medie a muncii scade. Această concluzie permite o explicație firească - întrucât valoarea celui de-al doilea factor K rămâne neschimbată, înseamnă că forța de muncă nou atrasă nu este dotată cu mijloace de producție suplimentare, ceea ce duce la o scădere a productivității muncii (acest lucru este valabil și în cazul cel mai general – la nivelul seturilor de producţie).
Productivitatea marginală a muncii Y/L = AβK α L β -1 > 0, ceea ce arată că pentru funcția Cobb-Douglas, productivitatea marginală a muncii este proporțională cu productivitatea medie și mai mică decât aceasta. În mod similar, se determină randamentul mediu și marginal al activelor. Pentru ei, raportul indicat este de asemenea adevărat - rentabilitatea marginală a activelor este proporțională cu rentabilitatea medie a activelor și mai mică decât aceasta.
O caracteristică importantă este raportul capital-munca f = K/L, care arată suma de fonduri atribuibile unui angajat (pe unitate de muncă).
Să aflăm acum elasticitatea producției în raport cu munca:
(Y/L):(Y/L) = (Y/L)L/Y = AβK α L β -1 L/(AK α L β) = β.
Deci sensul este clar parametru - aceasta elasticitatea (raportul dintre productivitatea marginală a muncii și productivitatea medie a muncii) producției în raport cu munca. Elasticitatea producției în raport cu forța de muncă înseamnă că, pentru a crește producția cu 1%, este necesară creșterea volumului resurselor de muncă cu %. Are o semnificație similară parametru – este elasticitatea producției față de fonduri.
Și încă o valoare este interesantă. Fie + = 1. Este ușor de verificat că Y = (Y/K)/K + (Y/L)L (substituind Y/K, Y/L calculat anterior în această formulă). Să presupunem că societatea este formată doar din muncitori și antreprenori. Apoi venitul Y este împărțit în două părți - venitul lucrătorilor și venitul antreprenorilor. Deoarece valoarea lui Y/L - produsul marginal al muncii - coincide cu salariile la dimensiunea optimă a firmei (se poate dovedi), atunci (Y/L)L reprezintă venitul muncitorilor. În mod similar, valoarea lui Y/K este randamentul marginal al activelor, al cărui sens economic este rata rentabilității, prin urmare, (Y/K)K reprezintă venitul antreprenorilor.
Funcția Cobb-Douglas este cea mai cunoscută dintre toate funcțiile de producție. În practică, la construirea acestuia, unele cerințe sunt uneori abandonate (de exemplu, suma + poate fi mai mare decât 1 etc.).
Exemplul 1 Fie funcția de producție funcția Cobb-Douglas. Pentru a crește producția cu a = 3%, este necesar să se mărească activele fixe cu b = 6% sau numărul de angajați cu c = 9%. În prezent, un muncitor pe lună produce produse pentru M = 10 4 ruble . , iar numărul total de angajați este L = 1000. Mijloacele fixe sunt estimate la K = 10 8 ruble. Găsiți o funcție de producție.
Soluţie. Să aflăm coeficienții , : = a / b = 3/6 = 1/2, = a / c = = 3/9 = 1/3, deci, Y = AK 1/2 L 1/3. Pentru a găsi A, înlocuim valorile K, L, M în această formulă, ținând cont că Y = ML = 1000 . 10 4 \u003d 10 7 - - 10 7 \u003d A (10 8) 1/2 1000 1/3. Prin urmare, A = 100. Astfel, funcția de producție are forma: Y = 100K 1/2 L 1/3 .
2.5. Teoria firmei
În secțiunea anterioară, la analizarea și modelarea comportamentului producătorului, am folosit doar indicatori fizici și am făcut fără prețuri, dar nu am putut rezolva până la urmă problema producătorului, adică să indicăm singura modalitate prin care acesta poate acționa în condițiile actuale. Acum să aruncăm o privire la prețuri. Fie P un vector de preț. Dacă T = (X,Y) este o tehnologie, adică vectorul de intrare-ieșire, X este costuri, Y este ieșire, atunci produsul scalar PT = PX + PY este profitul din utilizarea tehnologiei T (costurile sunt cantități negative) . Acum formulăm formalizarea matematică a axiomei care descrie comportamentul producătorului.
Provocarea producătorului: un producător selectează o tehnologie din setul său de producție în efortul de a maximiza profiturile . Deci, producătorul rezolvă următoarea problemă: РТ→max, Tτ. Această axiomă simplifică drastic situația de alegere. Deci, dacă prețurile sunt pozitive, ceea ce este firesc, atunci componenta „ieșire” a soluției acestei probleme se va afla automat pe curba posibilităților de producție. Într-adevăr, să fie T = (X,Y) o soluție la problema producătorului. Atunci există ZK x , Z Y, prin urmare, P(X, Z) P(X, Y), deci punctul (X, Z) este de asemenea o soluție la problema producătorului.
Pentru cazul a două tipuri de produse, problema poate fi rezolvată grafic (Fig. 2.3). Pentru a face acest lucru, trebuie să „deplasați” o linie dreaptă perpendiculară pe vectorul P, în direcția în care arată; atunci ultimul punct, când această dreaptă intersectează încă mulțimea de producție, va fi soluția (în Fig. 2.3. acesta este punctul T). Este ușor de observat că convexitatea strictă a părții dorite a setului de producție în al doilea cadran garantează unicitatea soluției. Același raționament se aplică și în cazul general, pentru un număr mai mare de intrări și ieșiri. Cu toate acestea, nu vom urma această cale, ci vom folosi aparatul de funcții de producție și vom numi producătorul o firmă. Deci, producția firmei poate fi caracterizată printr-o singură valoare - fie volumul producției, dacă se produce un produs, fie costul total al întregii producții. Spațiul de cost este m-dimensional, vectorul de cost X = (x 1 , …, x m). Costurile determină în mod unic producția Y, iar această relație este funcția de producție Y = f(X).
Orez. 2.3. Rezolvarea problemei producatorului
În această situație, notăm cu P vectorul prețurilor pentru bunurile de intrare și fie v prețul unitar al bunurilor produse. Prin urmare, profitul W, care este în cele din urmă o funcție a lui X (și a prețurilor, dar sunt considerate constante), este W(X) = vf(X) – PX→max, X 0. Echivalarea derivatelor parțiale ale funcției W la zero, obținem:
v(f/x j) = p j pentru j = 1, …, m sau v(f/X) = P (2.1)
Vom presupune că toate costurile sunt strict pozitive (costurile zero pot fi pur și simplu excluse din considerare). Atunci punctul dat de relația (2.1) se dovedește a fi intern, adică un punct extremum. Și deoarece se presupune și definiția negativă a matricei Hesse a funcției de producție f (X) (pe baza cerințelor pentru funcțiile de producție), acesta este punctul maxim.
Deci, sub ipotezele naturale privind funcțiile de producție (aceste ipoteze sunt valabile pentru un producător cu bun simț și într-o economie rezonabilă), relația (2.1) oferă o soluție la problema firmei, adică determină volumul X* al resurselor prelucrate, rezultând în ieșirea Y * = f(X *) Punctul X * , sau (X * ,f(X *)) se numește decizia optimă a firmei. Să ne oprim asupra semnificației economice a relației (2.1). După cum sa menționat, (f/X) = (f/x 1 ,…,f/x m) se numește vector de produs marginal sau vector de produs marginal, iar f/x i se numește i-a produs marginal, sau eliberați răspunsul la o modificare i costul articolului. Prin urmare, vf/x i dx i este Preț i -al-lea produs marginal derivat suplimentar din dx i unitati i -a resursă. Totuși, costul dx i unităților i-a resursă este egal cu pi dx i , adică s-a obținut un echilibru: este posibil să se implice dx i unități suplimentare ale i-a resursă în producție prin cheltuirea pi dx i la achiziționarea sa, dar nu va exista niciun câștig, t vom primi după procesarea produselor exact în aceeași sumă pe care am cheltuit-o. În consecință, punctul optim dat de relația (2.1) este punctul de echilibru - nu mai este posibil să stoarce mai mult din resursele-marfă decât a fost cheltuit pentru achiziționarea acestora.
Evident, creșterea producției firmei s-a produs treptat: la început, costul produselor marginale a fost mai mic decât prețul de achiziție al mărfurilor-resurse necesare producerii acestora. Creșterea volumelor de producție continuă până când relația (2.1) începe să fie îndeplinită: egalitatea valorii produselor marginale și a prețului de cumpărare necesar pentru producerea acestora de resurse-marfă.
Să presupunem că în problema firmei W(X) = vf(X) – PX → max, X 0, soluția X * este unică pentru v > 0 și P > 0. Astfel, obținem funcția vectorială X * = X * ( v, P) sau funcțiile x * I = x * i (v, p 1 , pm) pentru i = 1, …, m. Aceste m funcții sunt numite funcţiile cererii de resurse la preţuri date pentru produse şi resurse. În mod substanțial, aceste funcții înseamnă că dacă se formează prețurile P pentru resurse și prețul v pentru bunurile produse, acest producător (caracterizat prin această funcție de producție) determină volumul resurselor prelucrate prin funcțiile x * I = x * i (v). , p 1 , pm) și întreabă aceste volume în piață. Cunoscând volumele de resurse prelucrate și substituindu-le în funcția de producție, obținem producție în funcție de prețuri; notăm această funcție prin q * = q * (v,P) = f(X(v,P)) = Y * . Se numeste funcția de sugestie de produsîn funcţie de preţul v pentru produse şi preţurile P pentru resurse.
Prin definitie, resursă de tip i-a numit de mică valoare, dacă și numai dacă,x * i /v adică odată cu creșterea prețului produselor, cererea pentru o resursă de valoare mică scade. Se poate demonstra o relație importantă: q * /P = -X * /v sau q * /p i = -x * i /v, pentru i = 1, …, m. Prin urmare, o creștere a prețului de producție duce la o creștere (scădere) a cererii pentru un anumit tip de resursă dacă și numai dacă o creștere a plății pentru această resursă duce la o scădere (creștere) a producției optime. Aceasta arată principala proprietate a resurselor de valoare mică: o creștere a plății pentru ei duce la o creștere a producției! Cu toate acestea, este posibil să se dovedească riguros existența unor astfel de resurse, creșterea plății pentru care duce la o scădere a producției (adică, toate resursele nu pot fi de valoare scăzută).
De asemenea, se poate demonstra că x * i /pi sunt complementare dacă x * i /pj sunt interschimbabile dacă x * i /pj > 0. Adică, pentru resursele complementare, o creștere a prețului unul dintre ele duce la o scădere a cererii pentru altul, iar pentru resursele fungibile, o creștere a prețului unuia dintre ele duce la o creștere a cererii pentru celălalt. Exemple de resurse complementare: un computer și componentele sale, mobilier și lemn, șampon și balsam pentru acesta. Exemple de resurse fungibile: zahăr și înlocuitori ai zahărului (cum ar fi sorbitol), pepeni și pepeni, maioneză și smântână, unt și margarină etc.
Exemplul 2 Pentru o firmă cu o funcție de producție Y = 100K 1/2 L 1/3 (din exemplul 1), găsiți dimensiunea optimă dacă perioada de amortizare a mijloacelor fixe N = 12 luni, salariul angajatului pe lună a = 1000 de ruble.
Soluţie. Mărimea optimă a producției sau a volumului de producție se găsește din relația (2.1). În acest caz, producția este măsurată în termeni monetari, astfel încât v = 1. Costul de întreținere lunar a unei ruble de fonduri este 1/N, adică obținem un sistem de ecuații
, rezolvand care gasim raspunsul: 
, L = 8 . 10 3 , K = 144 . 10 6 .
2.6. Sarcini
1. Fie funcția de producție funcția Cobb-Douglas. Pentru a crește producția cu 1%, este necesară creșterea activelor fixe cu b = 4% sau a numărului de angajați cu c = 3%. În prezent, un muncitor pe lună produce produse pentru M = 10 5 ruble . , iar numărul total de angajați este L = 10 4 . Mijloacele fixe sunt evaluate la K = 10 6 ruble. Găsiți funcția de producție, randamentul mediu al activelor, productivitatea medie a muncii, raportul capital-muncă.
2. Un grup de „comercianți cu navetă” în valoare de E a decis să facă echipă cu N vânzători. Profitul dintr-o zi de muncă (venituri minus cheltuieli, dar nu salarii) este exprimat prin formula Y = 600(EN) 1/3 . Salariu "navetă" 120 de ruble. pe zi, vânzătorul - 80 de ruble. într-o zi. Găsiți compoziția optimă a grupului de „navete” și vânzători, adică câte „navete” ar trebui să fie și câți vânzători.
3. Omul de afaceri a decis să înființeze o mică companie de camioane. După ce a trecut în revistă statisticile, a văzut că dependența aproximativă a câștigurilor zilnice de numărul de mașini A și numărul N este exprimată prin formula Y = 900A 1/2 N 1/4. Amortizarea și alte cheltuieli zilnice pentru o mașină sunt de 400 de ruble, salariul zilnic al unui muncitor este de 100 de ruble. Găsiți numărul optim de muncitori și vehicule.
4. Omul de afaceri a decis să deschidă un bar de bere. Să presupunem că dependența veniturilor Y (minus costul berii și gustărilor) de numărul de mese M și de numărul de chelneri F este exprimată prin formula Y = 200M 2/3 F 1/4 . Costul pentru o masă este de 50 de ruble, salariul chelnerului este de 100 de ruble. Găsiți dimensiunea optimă a barului, adică numărul de chelneri și mese.
Izocuante și izocline ale PF
Dacă ne întoarcem din nou la metoda analogiei, atunci, ca și în cazul modelului comportamentului consumatorului, în teoria modelării proceselor de producție, putem evidenția conceptul de curbă indiferență a producătorului. Acest concept poate corespunde mai multor seturi de factori de producție, care corespund aceleiași cantități de produs produs, adică:
Se numește mulțimea de puncte care satisfac egalitatea (4.1). izocuanta PF ( izo- constant, cantitate- număr). Fiecare izocuanta corespunde unui nivel diferit de productie a produsului ( y ), iar izocuantele care sunt mai îndepărtate de punctul zero (punctul de inactivitate) corespund unor valori mai mari y . Izocuantele au, de asemenea, aceleași proprietăți ca și curbele de indiferență (sunt paralele între ele, nu se intersectează cu axele absciselor și ordonatelor etc.) Pentru un PF cu doi factori, izocuanta va exprima în esență dependența funcțională a costurilor capitalului de muncă. costuri la un anumit nivel de producție:
Producătorul, prin tehnologii diferite, poate alege diferite combinații de factori de producție și, în același timp, poate menține un nivel constant de producție. Conform izocuantei, o creștere a unui factor va duce la o scădere a celuilalt. Prin urmare, trebuie să existe o caracteristică care să permită evaluarea compensării unui factor de către altul. O astfel de caracteristică este rata marginală de substituție(similar cu aceeași caracteristică în teoria utilității consumatorului):
, (4.2)
care arata ce crestere a factorului j compensa scăderea factorului i pe unitate, astfel încât nivelul de producție al produsului să rămână același (înlocuirea factorilor i factor j ).
În consecință, substituția inversă (a factorului j cu factorul i) va fi caracterizată prin valoarea inversă: 
.
Conform relației dintre coeficientul de elasticitate și produsul marginal (4.1), rata marginală de substituție poate fi exprimată astfel:
(4.3)
Conform (4.1), pentru PF cu doi factori avem:
- rata marginală de substituire a capitalului cu muncă;
este rata marginală de substituire a muncii cu capital.
Conform (4.3), pentru un model cu doi factori, rata marginală de substituție poate fi exprimată și în termeni de coeficienți de elasticitate:
, Unde La
- raportul capital-muncă.
Alături de izocuante, un rol important în PF îl joacă izoclinele sunt seturile de puncte din zona economică pentru care rata marginală de substituţie i --lea factor j -m este constantă:
Folosind conceptul de izoclină (izoclină), se poate transforma un set arbitrar de factori (L,K) la platou (D, doamnă) , adică prin rezolvarea sistemului de ecuații:
va fi:
PF omogen cu o rată marginală constantă de substituire a muncii cu capital și grad de omogenitate δ=1
aparține clasei de funcții liniare, adică 
.
Astfel, pentru un PF cu doi factori, fiecare punct al izocuantei este caracterizat de costurile capitalului și ale muncii sau de rata marginală de substituire a muncii cu capital. DOAMNA LK și raportul capital-muncă k . Dacă ne întoarcem la reprezentarea geometrică, atunci DOAMNA LK este egală cu panta tangentei la punctul dat al izocuantei, iar valoarea lui k este egală cu panta razei care iese din origine și trece prin punctul dat al izocuantei (vezi Fig. Orez. 4.2).
Figura 4.2
De exemplu, la punct V
valoarea costurilor cu forța de muncă este mai mare decât la punct A
, de aici și valoarea DOAMNA LK
la punct V
mai putin de punct A
. În consecință, punctul V
va corespunde unei valori mai mici a raportului capital-muncă decât la momentul respectiv A
.
Astfel, relația dintre modificarea raportului capital-muncă și rata marginală de substituție a capitalului prin muncă devine evidentă, adică ajungem din nou la conceptul de elasticitate, și anume elasticitatea substituirii muncii cu capital, care arată cum raportul capital-muncă se va schimba atunci când rata marginală de substituire a muncii cu capital se va modifica cu un procent.
(4.4)
De asemenea, se poate arăta grafic că, pe măsură ce curbura izocuantei crește, elasticitatea Eσ
scade (vezi Orez. 4.3).
Figura 4.3
Rețineți că în ambele cazuri la puncte A și V valorile DOAMNA LK rămân aceleași, iar valoarea raportului capital-muncă la momentul respectiv A mai mare decât punctul V . De aici rezultă o altă proprietate importantă: pentru un PF omogen, elasticitatea substituirii muncii cu capital depinde doar de raportul capital-muncă și rămâne constantă de-a lungul razelor începând de la punctul zero.
Să exprimăm legătura dintre DOAMNA LK și k cu elasticitate constantă Eσ . Conform (4.4) avem:
(4.5)
Asumând dependență DOAMNA LK(k) , putem scrie (4.5) ca o ecuație diferențială obișnuită:
(4.6)
Integrarea (4.6) dă:
sau după conversie:
, Unde
În consecință, condiția ca elasticitatea înlocuirii muncii cu capital să fie constantă dă o relație putere-lege între cantități DOAMNA LK și k . În consecință, cazul elasticității unitare va corespunde unei relații liniare între mărimile indicate:
Introducerea conceptului de elasticitate constantă a substituției a condus la forma generală a unui PF omogen, pentru care elasticitatea substituției factorilor este constantă. Astfel de PF se numesc PF. clasa CES (Elasticitatea constantă a substituției). Funcțiile acestei clase au fost mai întâi propuse Arrow de Kenneth și Solow Robert în 1961. Funcțiile acestei clase presupun că înlocuirea muncii cu capital este posibilă numai în anumite limite și nu există tehnologii care să permită producerea unei cantități date dintr-un produs cu costul factorilor de producție sub anumite valori critice. (Geometric, aceasta înseamnă că este posibil să se construiască asimptote la izocuanta, iar acestea vor corespunde cu valorile minime posibile ale muncii și capitalului. Este posibil să se obțină relații matematice ale asimptotelor, în această prezentare nu vom prezenta acest material.)
Multe PF sunt, de fapt, cazuri speciale sau limitative ale funcțiilor CES, ale căror principale caracteristici sunt date în Tabelul 4.1.
Tabelul 4.1
Conceptul de sistem de producție și procesul de producție. Proces tehnologic și set tehnologic
Sarcina principală a oricărui proces de producție este crearea de valoare adăugată și a unui nou produs economic, care apoi participă la procesele ulterioare de schimb și consum. Se știe că procesul de producție este o condiție pentru apariția proceselor de consum, pe de o parte, iar pe de altă parte, încetarea consumului duce la încetarea procesului de producție. In consecinta, dezvoltarea proceselor de productie este determinata de comportamentul economic al consumatorului. Această relație poate fi reprezentată ca următorul model conceptual de funcționare a unei entități economice: 
Veriga centrală este modelul procesului de producție, care leagă variabilele de intrare ale sistemului de producție cu rezultatul; modelul pieței resurselor este o condiție necesară pentru funcționarea procesului de producție; modelul pieței de mărfuri este o condiție necesară pentru existența și reluarea procesului de producție; model decizional - alegerea celei mai bune decizii într-un anumit sens a producătorului de mărfuri cu privire la volumele de producție pe baza informațiilor despre condițiile pieței și capacitățile de producție.
Ideile moderne în domeniul modelării proceselor de producție se bazează pe teorii economiști -neoclasic , care a propus un model de persoană „economică”, al cărei comportament economic este determinat de funcția de utilitate.
În acest fel, proces de fabricație este procesul de creare a valorii adăugate prin transformarea intenționată a unui set de bunuri în altul. Sistemul economic în care se organizează și se realizează procesul de producție se numește sistem de producere sau producție. Scopul oricărui sistem de producție este starea viitoare finală dorită sau rezultatul activității economice. Din punctul de vedere al teoriei economice neoclasice, obiectivele producătorului sunt maximizarea veniturilor sau profitului, sau minimizarea costurilor. Bunurile consumate în procesul de producție se numesc factori de producţie bunuri primite ca urmare a procesului de productie – produse de productie.
Din acest punct de vedere, orice sistem de producție cu o structură internă complexă este o „cutie neagră”, în timp ce informațiile despre factorii de producție (informații de intrare) și despre produs (rezultat) sunt cunoscute, iar structura internă necunoscută este descrisă folosind unele producții. funcţie. În același timp, trebuie amintit că modelul „cutie neagră” este util pentru un economist, dar inutil pentru un manager care reformează structura organizațională și procesele din cadrul sistemului.
Pe lângă conceptul de funcții de producție, pentru modelarea proceselor de producție, sunt importante concepte precum conceptul de elasticitate a factorilor de producție, rata marginală de substituție a factorilor de producție, deoarece resursele din sistemul de producție pot acționa ca bunuri de înlocuire. În plus, într-un proces real de producție este imposibil să se producă un produs în absența completă a oricărui factor de producție, adică se poate vorbi despre complementaritatea factorilor de producție, adică despre lor. complementaritatea.
Tehnologie este o modalitate tehnică de transformare a factorilor de producție în produse. Există un număr mare de tehnologii disponibile, dintre care producătorii aleg cele mai eficiente. Tehnologia definește relația dintre un element u dintre factorii de producţie şi un element v din zona de produs. Proces tehnologic este un ansamblu de relații între elemente tu i și vj (), deci este cel mai simplu model al procesului de producție. La rândul său, se formează ansamblul proceselor tehnologice set tehnologic . Seturile tehnologice au următoarele proprietăți:
1. imposibilitatea existenței unui „corn al abundenței”, adică a unui proces tehnologic zero (fără costul factorilor de producție) aparține ansamblului tehnologic și înseamnă inacțiune;
2. mulţimea tehnologică este convexă, adică procesele tehnologice pot fi combinate (unele procese tehnologice pot fi o combinaţie convexă a altora);
3. se limitează de sus setul tehnologic, ceea ce se asociază cu resursele (factorii de producţie) limitate (epuizabile);
4. setul tehnologic este închis, adică are limite.
Efectiv procesele tehnologice sunt descrise prin puncte situate pe granița efectivă a unui set tehnologic convex.
Metoda seturilor tehnologice face posibilă descrierea producției cu mai multe produse, deoarece o tranziție strictă de la seturile tehnologice la funcțiile de producție este posibilă prin agregarea factorilor de producție și a produselor.
În concluzie, observăm că există două abordări alternative pentru rezolvarea problemei controlului optim al proceselor de producție. Prima abordare are în vedere problema maximizării producției unui produs sub constrângeri bugetare fixe. Rezolvarea acestei probleme se bazează pe analiza funcției de producție a sistemului de producție, luând în considerare valoarea de piață a forței de muncă și a capitalului și mărimea bugetului de producție. A doua abordare rezolvă problema minimizării costurilor de producție la un anumit nivel de producție a produsului. Această problemă este rezolvată folosind funcția de cost, care poate fi calculată din funcția de producție disponibilă. Aceste două abordări duc la același rezultat la rezolvarea problemelor de optimizare. ( Amintiți-vă de dualitate!).
