Tečaj je namijenjen prvostupnicima i magistrima matematičkih, ekonomskih ili prirodnih znanosti, kao i srednjoškolskim profesorima matematike i sveučilišnim profesorima. Također će biti korisno za školsku djecu koja produbljeno proučavaju matematiku.
Struktura tečaja je tradicionalna. Predmet pokriva klasično gradivo iz matematičke analize koje se proučava na prvoj godini sveučilišta u prvom semestru. Predstavit će se dijelovi “Elementi teorije skupova i realni brojevi”, “Teorija brojčanih nizova”, “Limit i kontinuitet funkcije”, “Diferencijabilnost funkcije”, “Primjena diferencijabilnosti”. Upoznat ćemo se s pojmom skupa, dati strogu definiciju realnog broja i proučavati svojstva realnih brojeva. Zatim ćemo govoriti o nizovima brojeva i njihovim svojstvima. To će nam omogućiti da koncept numeričke funkcije, dobro poznat školarcima, razmotrimo na novoj, rigoroznijoj razini. Uvest ćemo pojam limita i kontinuiteta funkcije, raspravljati o svojstvima kontinuiranih funkcija i njihovoj primjeni u rješavanju problema.
U drugom dijelu kolegija definirat ćemo derivaciju i diferencijabilnost funkcije jedne varijable te proučavati svojstva diferencijabilnih funkcija. To će vam omogućiti da naučite kako riješiti tako važne primijenjene probleme kao što je približni izračun vrijednosti funkcije i rješavanje jednadžbi, izračunavanje granica, proučavanje svojstava funkcije i konstruiranje njezinog grafikona.
Format
Oblik studija je dopisni (na daljinu).
Tjedna nastava će uključivati gledanje tematskih video predavanja i rješavanje testnih zadataka uz automatsku provjeru rezultata.
Važan element izučavanja discipline je samostalno rješavanje računskih i dokaznih problema. Rješenje će morati sadržavati rigorozno i logički ispravno obrazloženje koje vodi do točnog odgovora (u slučaju računskog problema) ili u potpunosti dokazuje traženu tvrdnju (kod teoretskih problema).
Zahtjevi
Tečaj je namijenjen prvostupnicima 1. godine. Potrebno je poznavanje elementarne matematike na razini srednje škole (11. razred).
Program tečaja
Predavanje 1. Elementi teorije skupova.
Predavanje 2. Pojam realnog broja. Točna lica numeričkih skupova.
Predavanje 3. Aritmetičke operacije nad realnim brojevima. Svojstva realnih brojeva.
Predavanje 4. Brojevni nizovi i njihova svojstva.
Predavanje 5. Monotone sekvence. Cauchyjev kriterij konvergencije niza.
Predavanje 6. Pojam funkcije jedne varijable. Ograničenje funkcije. Beskonačno male i beskonačno velike funkcije.
Predavanje 7. Kontinuitet funkcije. Klasifikacija točaka prekida. Lokalna i globalna svojstva kontinuiranih funkcija.
Predavanje 8. Monotone funkcije. Inverzna funkcija.
Predavanje 9. Najjednostavnije elementarne funkcije i njihova svojstva: eksponencijalne, logaritamske i potencije.
Predavanje 10. Trigonometrijske i inverzne trigonometrijske funkcije. Izvanredna ograničenja. Jednoliki kontinuitet funkcije.
Predavanje 11. Pojam derivacije i diferencijala. Geometrijsko značenje derivacije. Pravila razlikovanja.
Predavanje 12. Izvodnice osnovnih elementarnih funkcija. Funkcijski diferencijal.
Predavanje 13. Derivacije i diferencijali viših redova. Leibnizova formula. Derivacije parametarski definiranih funkcija.
Predavanje 14. Osnovna svojstva diferencijabilnih funkcija. Rolleov i Lagrangeov teorem.
Predavanje 15. Cauchyjev teorem. L'Hopitalovo prvo pravilo otkrivanja neizvjesnosti.
Predavanje 16. L'Hopitalovo drugo pravilo za otkrivanje neizvjesnosti. Taylorova formula s ostatkom u Peano obliku.
Predavanje 17. Taylorova formula s ostatkom u općem obliku, u Lagrangeovom i Cauchyjevom obliku. Rastavljanje prema Maclaurinovoj formuli glavnih elementarnih funkcija. Primjene Taylorove formule.
Predavanje 18. Dovoljni uvjeti za ekstrem. Asimptote grafa funkcije. Konveksan.
Predavanje 19. Točke infleksije. Opća shema istraživanja funkcija. Primjeri crtanja grafova.
Ishodi učenja
Kao rezultat savladavanja kolegija student će steći razumijevanje temeljnih pojmova matematičke analize: skupa, broja, niza i funkcije, upoznati njihova svojstva i naučiti ta svojstva primijeniti pri rješavanju zadataka.
A.V. Glasco
PREDAVANJA IZ MATEMATIČKE ANALIZE
"ELEMENTARNE FUNKCIJE I GRANICE"
Moskva, MSTU im. N.E. Bauman
§1. Logična simbolika.
Prilikom pisanja matematičkih izraza koristit ćemo sljedeće logičke simbole:
Značenje |
Značenje |
||
Za svakoga, za svakoga, za svakoga (od |
|||
Postoji, postoji, postoji (postoji) |
|||
Privlači, prati (dakle) |
|||
Ekvivalentno, ako i samo ako, |
|||
potrebno i dovoljno |
|||
Dakle, ako su A i B bilo koje izjave, onda |
|||
Značenje |
|||
A ili B (ili A ili B, ili oba A i B) |
|||
Za bilo koji x, A |
|||
Postoji x za koje vrijedi A |
|||
Iz A slijedi B (ako je A istinito, onda je B istinito) |
|||
(implikacija) |
|||
A je ekvivalent B, A se javlja ako i samo ako se B pojavljuje, |
|||
za B potrebno je i dovoljno za A |
|||
Komentar. “A B” znači da je A dovoljno za B, a B je potrebno za A. |
|||
Primjer. (x=1) => (x2 -3x+2=0) => ((x=1) (x=2)).
Ponekad ćemo koristiti još jedan poseban simbol: A =df B.
To znači da je A = B po definiciji.
§2. Mnoštvo. Elementi i dijelovi skupa.
Pojam skupa je primarni pojam, ne definiran kroz jednostavnije. Riječi: zbirka, obitelj, skup njegovi su sinonimi.
Primjeri skupova: mnogo učenika u učionici, mnogo nastavnika u odjelu, mnogo automobila na parkiralištu itd.
Primarni pojmovi su također pojmovi postavljeni element i odnosima
između elemenata skupa.
Primjer. N je skup prirodnih brojeva, njegovi elementi su brojevi 1,2,3,... Ako su x i y elementi od N, onda su u jednom od sljedećih odnosa: x=y, x
Dogovorimo se da skupove označavamo velikim slovima: A, B, C, X, Y, …, a njihove elemente malim slovima: a, b, c, x, y, …
Odnosi između elemenata ili skupova označeni su simbolima umetnutim između slova. Na primjer. Neka je A neki skup. Tada relacija a A znači da je a element skupa A. Zapis a A znači da a nije element skupa A.
Skup se može specificirati na razne načine. 1. Navođenje njegovih elemenata.
Na primjer, A=(a, b, c, d), B=(1, 7, 10)
2. Označavanje svojstava elemenata. Neka je A skup elemenata a koji ima svojstvo p. Ovo se može napisati kao: A=( a:p ) ili A=( ap ).
Na primjer, zapis A= ( x: (x R ) (x2 -1>0) ) znači da je A skup realnih brojeva koji zadovoljavaju nejednakost x2 -1>0.
Uvedimo nekoliko važnih definicija.
Def. Skup se naziva konačnim ako se sastoji od određenog konačnog broja elemenata. Inače se naziva beskonačnim.
Na primjer, skup učenika u učionici je konačan, ali je skup prirodnih brojeva ili skup točaka unutar segmenta beskonačan.
Def. Skup koji ne sadrži niti jedan element nazivamo praznim i označavamo ga.
Def. Za dva skupa se kaže da su jednaka ako se sastoje od istog
one. koncept skupa ne podrazumijeva određeni redoslijed elemenata. Def. Skup X naziva se podskup skupa Y ako je bilo koji element skupa X element skupa Y (i, općenito govoreći, ne bilo koji
element skupa Y je element skupa X). Korištena oznaka je: X Y.
Na primjer, skup naranči O je podskup skupa voća F: O F, a skup prirodnih brojeva N je podskup skupa realnih brojeva R: N R.
Simboli “ ” i “ ” nazivaju se simboli uključivanja. Svaki skup se smatra podskupom samog sebe. Prazan skup je podskup bilo kojeg skupa.
Def. Poziva se svaki neprazan podskup B skupa A koji nije jednak A
vlastiti podskup.
§ 3. Euler-Vennovi dijagrami. Elementarne operacije na skupovima.
Skupove je zgodno prikazati grafički, u obliku površina na ravnini. Pretpostavlja se da točke površine odgovaraju elementima skupa. Takvi grafički prikazi skupova nazivaju se Euler-Vennovi dijagrami.
Primjer. A – mnogo studenata MSTU-a, B – mnogo studenata u publici. Riža. 1 jasno pokazuje da A B .
Euler-Vennovi dijagrami prikladni su za korištenje za vizualni prikaz elementarnih skup operacija. Glavne operacije uključuju sljedeće.
Riža. 1. Primjer Euler-Vennovog dijagrama.
1. Sjecište A B skupova A i B je skup C koji se sastoji od svih elemenata koji istovremeno pripadaju skupovima A i B:
C=A B =df ( z: (z A) (z B) )
(na slici 2, skup C je predstavljen osjenčanim područjem).
Riža. 2. Presjek skupova.
2. Unija A B skupova A i B je skup C koji se sastoji od svih elemenata koji pripadaju barem jednom od skupova A ili B.
C=A B =df ( z: (z A) (z B) )
(na slici 3, skup C je predstavljen osjenčanim područjem).
Riža. 3. Unija skupova.
Riža. 4. Razlika skupova.
3. Razlika A\B skupova A i B naziva se skup C, koji se sastoji od svih elemenata koji pripadaju skupu A, ali ne pripadaju skupu B:
A\B =( z: (z A) (z B) )
(na slici 4, skup C predstavljen je područjem osjenčanim žutom bojom).
§4. Skup realnih brojeva.
Konstruirajmo skup realnih brojeva R. Da bismo to učinili, razmotrimo, prije svega, skup prirodnih brojeva, što definiramo na sljedeći način. Uzmimo broj n=1 kao prvi element. Svaki sljedeći element dobiva se iz prethodnog dodavanjem jednog:
N = (1, 1+1, (1+1)+1, …) = (1, 2, 3, …, n, …).
N = (-1, -2, -3, …, -n, …).
Skup cijelih brojeva Z definiramo kao uniju triju skupova: N, -N i skupa koji se sastoji od jednog elementa – nule:
Skup racionalnih brojeva definiramo kao skup svih mogućih odnosa cijelih brojeva:
Q = (xx = m/n; m, n Z, n 0).
Očito N Z Q.
Poznato je da se svaki racionalni broj može napisati kao konačni realni ili beskonačni periodični razlomak. Jesu li racionalni brojevi dovoljni za mjerenje svih veličina s kojima se možemo susresti proučavajući svijet oko nas? Već unutra Stara Grčka pokazalo se da ne: ako promatramo jednakokračni pravokutni trokut s kracima duljine jedan, duljina hipotenuze ne može se prikazati kao racionalan broj. Dakle, ne možemo se ograničiti na skup racionalnih brojeva. Potrebno je proširiti pojam broja. Ovo proširenje se postiže uvođenjem skupovi iracionalnih brojeva J, koji se najlakše može zamisliti kao skup svih neperiodičnih beskonačnih decimalnih razlomaka.
Unija skupova racionalnih i iracionalnih brojeva naziva se
skup realnih brojeva R: R =Q Y.
Ponekad također razmatramo prošireni skup realnih brojeva R, razumijemo
Zgodno je realne brojeve prikazati kao točke na brojevnoj crti.
Def. Brojevna os je ravna crta na kojoj su označeni ishodište, mjerilo i referentni smjer.
Između realnih brojeva i točaka na brojčanoj osi uspostavlja se korespondencija jedan-na-jedan: svaki realni broj odgovara jednoj točki na brojčanoj osi i obrnuto.
Aksiom potpunosti (kontinuiteta) skupa realnih brojeva. Koji god neprazni skupovi A= (a) R i B= (b) R su takvi da za bilo koje a i b vrijedi nejednakost a ≤ b, postoji broj cR takav da je a ≤ c ≤ b (slika 5).
sl.5. Ilustracija aksioma potpunosti skupa realnih brojeva.
§5. Numerički skupovi. Susjedstvo.
Def. Numerički skup bilo koji podskup skupa R naziva se najvažnijim numeričkim skupovima: N, Z, Q, J, kao i
segment: (x R |a x b),
interval: (a ,b ) (x R |a x b ), (,)=R
poluintervali: ( x R| a x b),
(x R | x b).
Najvažniju ulogu u matematičkoj analizi igra koncept susjedstva točke na brojevnoj osi.
Def. -okolica točke x 0 je interval duljine 2 sa središtem u točki x 0 (slika 6):
u (x 0 ) (x 0 ,x 0 ).
Riža. 6. Okolica točke.
Def. Probušena okolina točke je okolina ove točke,
iz koje je isključena sama točka x0 (slika 7):
u (x 0 ) u (x 0 )\(x 0 ) (x 0 ,x 0 ) (x 0 ,x 0 ).
Riža. 7. Punktirana okolina točke.
Def. Desnostrana -okolica točke x0 naziva se poluinterval
u (x 0 ), raspon vrijednosti: E= [-π/2,π/2 ].
Riža. 11. Graf funkcije y arcsin x.
Uvedimo sada pojam kompleksne funkcije ( kompozicije preslikavanja). Neka su dana tri skupa D, E, M i neka je f: D→E, g: E→M. Očito je moguće konstruirati novo preslikavanje h: D→M, nazvano kompozicijom preslikavanja f i g ili kompleksnom funkcijom (slika 12).
Složena funkcija se označava na sljedeći način: z =h(x)=g(f(x)) ili h = f o g.
Riža. 12. Ilustracija pojma složene funkcije.
Poziva se funkcija f (x). unutarnja funkcija, a funkcija g (y)- vanjska funkcija.
1. Unutarnja funkcija f(x)= x², vanjski g (y) sin y. Kompleksna funkcija z= g(f(x))=sin(x²)
2. Sada je obrnuto. Unutarnja funkcija f (x)= sinx, vanjska funkcija g (y) y 2. u=f(g(x))=sin²(x)
Pitanja za ispit iz “Matematičke analize”, 1. godina, 1. semestar.
1. Mnoštvo. Osnovne operacije na skupovima. Metrički i aritmetički prostori.
2. Numerički skupovi. Skupovi na brojevnom pravcu: segmenti, intervali, poluosi, susjedstva.
3. Definicija ograničenog skupa. Gornje i donje granice skupova brojeva. Postulati o gornjoj i donjoj granici numeričkih skupova.
4. Metoda matematičke indukcije. Bernoullijeve i Cauchyjeve nejednakosti.
5. Definicija funkcije. Grafikon funkcije. Parne i neparne funkcije. Periodične funkcije. Metode za specificiranje funkcije.
6. Granica konzistencije. Svojstva konvergentnih nizova.
7. Ograničene sekvence. Teorem o dovoljnom uvjetu divergentnosti niza.
8. Definicija monotonog niza. Weierstrassov teorem o monotonom nizu.
9. Broj e.
10. Limit funkcije u točki. Limit funkcije u beskonačnosti. Jednostrana ograničenja.
11. Infinitezimalne funkcije. Limit zbroja, umnoška i kvocijenta funkcija.
12. Teoremi o stabilnosti nejednadžbi. Limesni prijelaz u nejednadžbama. Teorem o tri funkcije.
13. Prvo i drugo su divne granice.
14. Beskonačno velike funkcije i njihova povezanost s infinitezimalnim funkcijama.
15. Usporedba infinitezimalnih funkcija. Svojstva ekvivalentnih infinitezimala. Teorem o zamjeni infinitezimalnih veličina ekvivalentnima. Osnovne ekvivalencije.
16. Kontinuitet funkcije u točki. Akcije s kontinuiranim funkcijama. Kontinuitet osnovnih elementarnih funkcija.
17. Klasifikacija točaka diskontinuiteta funkcije. Definicija prema kontinuitetu
18. Definicija složene funkcije. Limit složene funkcije. Kontinuitet složene funkcije. Hiperboličke funkcije
19. Neprekidnost funkcije na segmentu. Cauchyjevi teoremi o ispadanju kontinuirane funkcije na intervalu i o međuvrijednosti funkcije.
20. Svojstva funkcija neprekidnih na intervalu. Weierstrassov teorem o ograničenosti kontinuirane funkcije. Weierstrassov teorem o najvećim i najmanjim vrijednostima funkcije.
21. Definicija monotone funkcije. Weierstrassov teorem o limitu monotone funkcije. Teorem o skupu vrijednosti funkcije koja je monotona i kontinuirana na intervalu.
22. Inverzna funkcija. Graf inverzne funkcije. Teorem o postojanju i kontinuitetu inverzne funkcije.
23. Inverzne trigonometrijske i hiperboličke funkcije.
24. Određivanje derivacije funkcije. Izvodnice osnovnih elementarnih funkcija.
25. Definicija diferencijabilne funkcije. Potreban i dovoljan uvjet diferencijabilnosti funkcije. Kontinuitet diferencijabilne funkcije.
26. Geometrijsko značenje derivacije. Jednadžba tangente i normale na graf funkcije.
27. Derivacija zbroja, umnoška i kvocijenta dviju funkcija
28. Derivacija složene funkcije i njezina inverzna funkcija.
29. Logaritamsko diferenciranje. Derivacija funkcije zadane parametarski.
30. Glavni dio inkrementa funkcije. Formula linearizacije funkcije. Geometrijsko značenje diferencijala.
31. Diferencijal složene funkcije. Invarijantnost oblika diferencijala.
32. Teoremi Rollea, Lagrangea i Cauchyja o svojstvima diferencijabilnih funkcija. Formula konačnog prirasta.
33. Primjena derivata na otkrivanje nesigurnosti unutar ograničenja. L'Hopitalovo pravilo.
34. Definicija derivata n-ti red. Pravila za pronalaženje derivacije n-tog reda. Leibnizova formula. Diferencijali viših redova.
35. Taylorova formula s ostatkom u Peano obliku. Članci ostatka u Lagrangeovom i Cauchyjevom obliku.
36. Rastuće i padajuće funkcije. Ekstremne točke.
37. Konveksnost i konkavnost funkcije. Točke infleksije.
38. Beskrajni prekidi značajki. Asimptote.
39. Shema za konstruiranje grafa funkcije.
40. Definicija antiderivacije. Osnovna svojstva antiderivacije. Najjednostavnija pravila integracije. Tablica jednostavnih integrala.
41. Integracija promjenom varijable i formula za integraciju po dijelovima u neodređenom integralu.
42. Integriranje izraza oblika e ax cos bx i e ax sin bx koristeći relacije ponavljanja.
43. Integracija razlomaka |
korištenjem relacija ponavljanja. |
|||
a 2 n |
||||
44. Neodređeni integral racionalne funkcije. Integracija prostih razlomaka.
45. Neodređeni integral racionalne funkcije. Rastavljanje pravih razlomaka na proste.
46. Neodređeni integral iracionalne funkcije. Integriranje izraza
R x, m |
|||
47. Neodređeni integral iracionalne funkcije. Integracija izraza oblika R x , ax 2 bx c . Eulerove zamjene.
48. Integriranje izraza oblika |
|||||||||||||
ax2 bx c |
ax2 bx c |
2 bx c |
49. Neodređeni integral iracionalne funkcije. Integracija binomnih diferencijala.
50. Integriranje trigonometrijskih izraza. Univerzalna trigonometrijska supstitucija.
51. Integracija racionalnih trigonometrijskih izraza u slučaju kada je integrand neparan s obzirom na sin x (ili cos x) ili čak s obzirom na sin x i cos x.
52. Integriranje izraza sin n x cos m x i sin nx cos mx.
53. Integriranje izraza tg m x i ctg m x .
54. Integriranje izraza R x , x 2 a 2 , R x , a 2 x 2 i R x , x 2 a 2 korištenjem trigonometrijskih supstitucija.
55. Određeni integral. Problem izračunavanja površine zakrivljenog trapeza.
56. Integralni zbrojevi. Darbouxovi zbrojevi. Teorem o uvjetu postojanja određenog integrala. Klase integrabilnih funkcija.
57. Svojstva određenog integrala. Teoremi o srednjoj vrijednosti.
58. Određeni integral kao funkcija gornje granice. Formula Newton-Leibniz.
59. Formula za promjenu varijable i formula za integriranje po dijelovima u određenom integralu.
60. Primjena integralnog računa u geometriji. Volumen figure. Volumen figura rotacije.
61. Primjena integralnog računa u geometriji. Područje ravne figure. Područje zakrivljenog sektora. Duljina krivulje.
62. Definicija nepravilnog integrala prve vrste. Formula Newton-Leibniz za neprave integrale prve vrste. Najjednostavnija svojstva.
63. Konvergencija nepravih integrala prve vrste za pozitivnu funkciju. 1. i 2. usporedni teorem.
64. Apsolutna i uvjetna konvergencija nevlastitih integrala prve vrste iz izmjenične funkcije. Testovi Abelove i Dirichletove konvergencije.
65. Definicija nepravog integrala druge vrste. Formula Newton-Leibniz za neprave integrale druge vrste.
66. Veza nepravilnih integrala 1. i 2. vrsta. Nepravilni integrali u smislu glavne vrijednosti.
