Θεωρία συναρτήσεων μιας μεταβλητής. Μαθηματική ανάλυση

Το μάθημα απευθύνεται σε πτυχιούχους και μεταπτυχιακούς που ειδικεύονται σε κλάδους μαθηματικών, οικονομικών ή φυσικών επιστημών, καθώς και σε καθηγητές μαθηματικών δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης και καθηγητές πανεπιστημίου. Θα είναι επίσης χρήσιμο για μαθητές που μελετούν μαθηματικά σε βάθος.

Η δομή του μαθήματος είναι παραδοσιακή. Το μάθημα καλύπτει κλασική ύλη στη μαθηματική ανάλυση, που μελετήθηκε στο πρώτο έτος του πανεπιστημίου στο πρώτο εξάμηνο. Θα παρουσιαστούν οι ενότητες «Στοιχεία θεωρίας συνόλων και πραγματικών αριθμών», «Θεωρία ακολουθιών αριθμών», «Όριο και συνέχεια συνάρτησης», «Διαφορικότητα συνάρτησης», «Εφαρμογές διαφορισιμότητας». Θα εξοικειωθούμε με την έννοια του συνόλου, θα δώσουμε έναν αυστηρό ορισμό του πραγματικού αριθμού και θα μελετήσουμε τις ιδιότητες των πραγματικών αριθμών. Στη συνέχεια θα μιλήσουμε για τις ακολουθίες αριθμών και τις ιδιότητές τους. Αυτό θα μας επιτρέψει να εξετάσουμε την έννοια μιας αριθμητικής συνάρτησης, πολύ γνωστής στους μαθητές, σε ένα νέο, πιο αυστηρό επίπεδο. Θα εισαγάγουμε την έννοια του ορίου και της συνέχειας μιας συνάρτησης, θα συζητήσουμε τις ιδιότητες των συνεχών συναρτήσεων και την εφαρμογή τους στην επίλυση προβλημάτων.

Στο δεύτερο μέρος του μαθήματος, θα ορίσουμε την παράγωγο και τη διαφορισιμότητα μιας συνάρτησης μιας μεταβλητής και θα μελετήσουμε τις ιδιότητες των διαφοροποιήσιμων συναρτήσεων. Αυτό θα σας επιτρέψει να μάθετε πώς να επιλύετε τόσο σημαντικά εφαρμοσμένα προβλήματα όπως ο κατά προσέγγιση υπολογισμός των τιμών συνάρτησης και η επίλυση εξισώσεων, ο υπολογισμός ορίων, η μελέτη των ιδιοτήτων μιας συνάρτησης και η κατασκευή του γραφήματος της.

Σχήμα και διάταξις βιβλίου

Η μορφή σπουδών είναι αλληλογραφία (εξ αποστάσεως).
Τα εβδομαδιαία μαθήματα θα περιλαμβάνουν παρακολούθηση θεματικών διαλέξεων βίντεο και ολοκλήρωση δοκιμαστικών εργασιών με αυτοματοποιημένη επαλήθευση των αποτελεσμάτων.
Ένα σημαντικό στοιχείο της μελέτης του κλάδου είναι η ανεξάρτητη επίλυση υπολογιστικών και αποδεικτικών προβλημάτων. Η λύση θα πρέπει να περιέχει αυστηρή και λογικά σωστή συλλογιστική που οδηγεί στη σωστή απάντηση (στην περίπτωση υπολογιστικού προβλήματος) ή αποδεικνύει πλήρως την απαιτούμενη δήλωση (για θεωρητικά προβλήματα).

Απαιτήσεις

Το μάθημα έχει σχεδιαστεί για πτυχιούχους 1ου έτους. Απαραίτητη η γνώση μαθηματικών στοιχειώδους λυκείου (11η τάξη).

Πρόγραμμα μαθημάτων

Διάλεξη 1.Στοιχεία θεωρίας συνόλων.
Διάλεξη 2.Η έννοια του πραγματικού αριθμού. Ακριβείς όψεις αριθμητικών συνόλων.
Διάλεξη 3.Αριθμητικές πράξεις σε πραγματικούς αριθμούς. Ιδιότητες πραγματικών αριθμών.
Διάλεξη 4.Ακολουθίες αριθμών και οι ιδιότητές τους.
Διάλεξη 5.Μονότονες ακολουθίες. Κριτήριο Cauchy για σύγκλιση ακολουθίας.
Διάλεξη 6.Η έννοια της συνάρτησης μιας μεταβλητής. Όριο λειτουργίας. Απείρως μικρές και απείρως μεγάλες συναρτήσεις.
Διάλεξη 7.Συνέχεια λειτουργίας. Ταξινόμηση σημείων διακοπής. Τοπικές και καθολικές ιδιότητες συνεχών συναρτήσεων.
Διάλεξη 8.Μονότονες λειτουργίες. Αντίστροφη συνάρτηση.
Διάλεξη 9.Οι απλούστερες στοιχειώδεις συναρτήσεις και οι ιδιότητές τους: εκθετικές, λογαριθμικές και συναρτήσεις ισχύος.
Διάλεξη 10.Τριγωνομετρικές και αντίστροφες τριγωνομετρικές συναρτήσεις. Αξιοσημείωτα όρια. Ομοιόμορφη συνέχεια λειτουργίας.
Διάλεξη 11.Η έννοια της παραγώγου και του διαφορικού. Γεωμετρική σημασία της παραγώγου. Κανόνες διαφοροποίησης.
Διάλεξη 12.Παράγωγοι βασικών στοιχειωδών συναρτήσεων. Διαφορικό λειτουργίας.
Διάλεξη 13.Παράγωγα και διαφορικά υψηλότερων τάξεων. Ο τύπος του Leibniz. Παράγωγοι παραμετρικά καθορισμένων συναρτήσεων.
Διάλεξη 14.Βασικές ιδιότητες διαφοροποιήσιμων συναρτήσεων. Θεωρήματα Rolle και Lagrange.
Διάλεξη 15.Θεώρημα Cauchy. Ο πρώτος κανόνας του L'Hopital για την αποκάλυψη της αβεβαιότητας.
Διάλεξη 16.Ο δεύτερος κανόνας του L'Hopital για την αποκάλυψη αβεβαιοτήτων. Ο τύπος του Taylor με έναν υπόλοιπο όρο σε μορφή Peano.
Διάλεξη 17.Ο τύπος του Taylor με έναν υπόλοιπο όρο σε γενική μορφή, σε μορφή Lagrange και Cauchy. Επέκταση σύμφωνα με τον τύπο Maclaurin των κύριων στοιχειωδών συναρτήσεων. Εφαρμογές του τύπου Taylor.
Διάλεξη 18.Επαρκείς συνθήκες για εξτρέμ. Ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης. Κυρτός.
Διάλεξη 19.Σημεία καμπής. Γενικό σχήμα έρευνας λειτουργιών. Παραδείγματα σχεδίασης γραφημάτων.

Μαθησιακά αποτελέσματα

Ως αποτέλεσμα της κατάκτησης του μαθήματος, ο φοιτητής θα αποκτήσει κατανόηση των βασικών εννοιών της μαθηματικής ανάλυσης: σύνολο, αριθμός, ακολουθία και συνάρτηση, θα εξοικειωθεί με τις ιδιότητές τους και θα μάθει να εφαρμόζει αυτές τις ιδιότητες κατά την επίλυση προβλημάτων.

A.V. Γκλάσκο

ΔΙΑΛΕΞΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ

"ΣΤΟΙΧΕΙΑΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΟΡΙΑ"

Μόσχα, MSTU im. Ν.Ε. Μπάουμαν

§1. Λογικός συμβολισμός.

Όταν γράφουμε μαθηματικές εκφράσεις, θα χρησιμοποιήσουμε τα ακόλουθα λογικά σύμβολα:

	Εννοια		Εννοια
			Για οποιονδήποτε, για όλους, για όλους (από
			Υπάρχει, υπάρχει, υπάρχει (υπάρχει)
			Προσελκύει, ακολουθεί (επομένως)
			Ισοδύναμα, εάν και μόνο εάν,
			αναγκαία και επαρκή
Αν λοιπόν το Α και το Β είναι οποιεσδήποτε προτάσεις, τότε

			Εννοια
			Α ή Β (ή Α ή Β, ή και τα δύο Α και Β)
			Για οποιοδήποτε x, Α
			Υπάρχει x για το οποίο ισχύει το Α
			Από το Α ακολουθεί το Β (αν το Α είναι αληθές, τότε το Β είναι αληθές)
(υπαινιγμός)
			Το Α είναι ισοδύναμο με το Β, το Α εμφανίζεται αν και μόνο αν συμβεί το Β,
			για το Β είναι απαραίτητο και αρκετό για το Α
	Σχόλιο. Το «Α Β» σημαίνει ότι το Α είναι αρκετό για το Β και το Β είναι απαραίτητο για το Α.

Παράδειγμα. (x=1) => (x2 -3x+2=0) => ((x=1) (x=2)).

Μερικές φορές θα χρησιμοποιήσουμε ένα άλλο ειδικό σύμβολο: A =df B.

Σημαίνει ότι Α = Β εξ ορισμού.

§2. Πλήθη. Στοιχεία και μέρη ενός συνόλου.

Η έννοια του συνόλου είναι μια πρωταρχική έννοια, που δεν ορίζεται μέσω απλούστερων. Οι λέξεις: συλλογή, οικογένεια, σετ είναι οι συνώνυμές του.

Παραδείγματα σετ: πολλοί μαθητές σε μια τάξη, πολλοί δάσκαλοι σε ένα τμήμα, πολλά αυτοκίνητα σε ένα πάρκινγκ κ.λπ.

Οι πρωταρχικές έννοιες είναι και οι έννοιες στοιχείο συνόλουκαι σχέσεις

ανάμεσα σε στοιχεία ενός συνόλου.

Παράδειγμα. Το N είναι ένα σύνολο φυσικών αριθμών, τα στοιχεία του είναι οι αριθμοί 1,2,3,... Αν x και y είναι στοιχεία του N, τότε βρίσκονται σε μία από τις παρακάτω σχέσεις: x=y, x u.

Ας συμφωνήσουμε να υποδηλώσουμε σύνολα με κεφαλαία γράμματα: A, B, C, X, Y, … και τα στοιχεία τους με πεζά γράμματα: a, b, c, x, y, …

Οι σχέσεις μεταξύ στοιχείων ή συνόλων υποδεικνύονται με σύμβολα που παρεμβάλλονται μεταξύ των γραμμάτων. Για παράδειγμα. Αφήστε το Α να είναι κάποιο σύνολο. Τότε η σχέση a A σημαίνει ότι το a είναι στοιχείο του συνόλου A. Ο συμβολισμός a A σημαίνει ότι το a δεν είναι στοιχείο του A.

Το σετ μπορεί να καθοριστεί με διάφορους τρόπους. 1. Απαριθμώντας τα στοιχεία του.

Για παράδειγμα, A=(a, b, c, d), B=(1, 7, 10)

2. Υποδεικνύοντας τις ιδιότητες των στοιχείων. Έστω A το σύνολο των στοιχείων μιας ιδιότητας p. Αυτό μπορεί να γραφτεί ως: A=( a:p ) ή A=( ap ).

Για παράδειγμα, ο συμβολισμός A= ( x: (x R ) (x2 -1>0) ) σημαίνει ότι το A είναι το σύνολο των πραγματικών αριθμών που ικανοποιούν την ανισότητα x2 -1>0.

Ας εισάγουμε αρκετούς σημαντικούς ορισμούς.

Def. Ένα σύνολο ονομάζεται πεπερασμένο αν αποτελείται από έναν ορισμένο πεπερασμένο αριθμό στοιχείων. Διαφορετικά λέγεται άπειρο.

Για παράδειγμα, το σύνολο των μαθητών στην τάξη είναι πεπερασμένο, αλλά το σύνολο των φυσικών αριθμών ή το σύνολο των σημείων μέσα σε ένα τμήμα είναι άπειρο.

Def. Ένα σύνολο που δεν περιέχει ούτε ένα στοιχείο ονομάζεται κενό και ορίζεται.

Def. Δύο σύνολα λέγονται ίσα αν αποτελούνται από το ίδιο

Εκείνοι. η έννοια του συνόλου δεν συνεπάγεται μια συγκεκριμένη σειρά στοιχείων. Def. Ένα σύνολο X ονομάζεται υποσύνολο ενός συνόλου Y εάν οποιοδήποτε στοιχείο του συνόλου X είναι στοιχείο του συνόλου Y (και, γενικά, όχι οποιοδήποτε

ένα στοιχείο του συνόλου Y είναι ένα στοιχείο του συνόλου X). Ο συμβολισμός που χρησιμοποιείται είναι: X Y.

Για παράδειγμα, το σύνολο των πορτοκαλιών O είναι ένα υποσύνολο του συνόλου των φρούτων F: O F, και το σύνολο των φυσικών αριθμών N είναι ένα υποσύνολο του συνόλου των πραγματικών αριθμών R: N R.

Τα σύμβολα " " και " " ονομάζονται σύμβολα συμπερίληψης. Κάθε σύνολο θεωρείται υποσύνολο του εαυτού του. Το κενό σύνολο είναι υποσύνολο οποιουδήποτε συνόλου.

Def. Οποιοδήποτε μη κενό υποσύνολο Β ενός συνόλου Α που δεν είναι ίσο με το Α καλείται

δικό του υποσύνολο.

§ 3. Διαγράμματα Euler-Venn. Στοιχειώδεις πράξεις σε σύνολα.

Είναι βολικό να αναπαραστήσετε σύνολα γραφικά, με τη μορφή περιοχών σε ένα επίπεδο. Υποτίθεται ότι τα σημεία της περιοχής αντιστοιχούν στα στοιχεία του συνόλου. Τέτοιες γραφικές αναπαραστάσεις συνόλων ονομάζονται διαγράμματα Euler-Venn.

Παράδειγμα. A – πολλοί φοιτητές MSTU, B – πολλοί μαθητές στο κοινό. Ρύζι. 1 δείχνει ξεκάθαρα ότι το A B .

Τα διαγράμματα Euler-Venn είναι βολικά στη χρήση για οπτική αναπαράσταση στοιχειώδους ρυθμίστε τις λειτουργίες. Οι κύριες λειτουργίες περιλαμβάνουν τα ακόλουθα.

Ρύζι. 1. Παράδειγμα διαγράμματος Euler-Venn.

1. Η τομή A B των συνόλων A και B είναι ένα σύνολο C που αποτελείται από όλα τα στοιχεία που ανήκουν ταυτόχρονα και στα δύο σύνολα A και B:

C=A B =df ( z: (z A) (z B) )

(στο Σχ. 2, το σύνολο C αντιπροσωπεύεται από τη σκιασμένη περιοχή).

Ρύζι. 2. Τομή συνόλων.

2. Η ένωση Α Β των συνόλων Α και Β είναι ένα σύνολο Γ που αποτελείται από όλα τα στοιχεία που ανήκουν σε τουλάχιστον ένα από τα σύνολα Α ή Β.

C=A B =df ( z: (z A) (z B) )

(στο Σχ. 3, το σύνολο C αντιπροσωπεύεται από τη σκιασμένη περιοχή).

Ρύζι. 3. Ένωση συνόλων.

Ρύζι. 4. Διαφορά σετ.

3. Η διαφορά A\B των συνόλων A και B ονομάζεται σύνολο C, που αποτελείται από όλα τα στοιχεία που ανήκουν στο σύνολο A, αλλά δεν ανήκουν στο σύνολο B:

A\B =( z: (z A) (z B) )

(στο Σχ. 4, το σύνολο C αντιπροσωπεύεται από την περιοχή που σκιάζεται με κίτρινο χρώμα).

§4 Το σύνολο των πραγματικών αριθμών.

Ας κατασκευάσουμε ένα σύνολο πραγματικών αριθμών R. Για να το κάνετε αυτό, σκεφτείτε πρώτα απ' όλα, σύνολο φυσικών αριθμών, το οποίο ορίζουμε ως εξής. Ας πάρουμε τον αριθμό n=1 ως πρώτο στοιχείο. Κάθε επόμενο στοιχείο θα ληφθεί από το προηγούμενο προσθέτοντας ένα:

N = (1, 1+1, (1+1)+1, …) = ( 1, 2, 3, …, n, … ).

N = ( -1, -2, -3, …, -n, …).

Σύνολο ακεραίων Zτο ορίζουμε ως την ένωση τριών συνόλων: N, -N και ενός συνόλου που αποτελείται από ένα μόνο στοιχείο – μηδέν:

Ορίζουμε το σύνολο των ρητών αριθμών ως το σύνολο όλων των πιθανών σχέσεων ακεραίων:

Q = (xx = m/n, m, nZ, n0).

Προφανώς N Z Q.

Είναι γνωστό ότι κάθε ρητός αριθμός μπορεί να γραφτεί ως πεπερασμένο πραγματικό ή άπειρο περιοδικό κλάσμα. Είναι αρκετοί οι ορθολογικοί αριθμοί για να μετρήσουμε όλες τις ποσότητες που μπορεί να συναντήσουμε όταν μελετάμε τον κόσμο γύρω μας; Ήδη μέσα Αρχαία ΕλλάδαΈχει αποδειχθεί ότι όχι: αν θεωρήσουμε ένα ισοσκελές ορθογώνιο τρίγωνο με σκέλη μήκους ένα, το μήκος της υποτείνουσας δεν μπορεί να αναπαρασταθεί ως ρητός αριθμός. Έτσι, δεν μπορούμε να περιοριστούμε στο σύνολο των ρητών αριθμών. Είναι απαραίτητο να επεκταθεί η έννοια του αριθμού. Αυτή η επέκταση επιτυγχάνεται με την εισαγωγή σύνολα παράλογων αριθμών J, το οποίο θεωρείται πιο εύκολα ως το σύνολο όλων των μη περιοδικών άπειρων δεκαδικών κλασμάτων.

Η ένωση συνόλων ρητών και παράλογων αριθμών ονομάζεται

σύνολο πραγματικών αριθμών R: R =Q Y.

Μερικές φορές θεωρούμε επίσης ένα εκτεταμένο σύνολο πραγματικών αριθμών R, κατανόηση

Είναι βολικό να αναπαραστήσετε πραγματικούς αριθμούς ως τελείες στην αριθμητική γραμμή.

Def. Ο αριθμητικός άξονας είναι μια ευθεία γραμμή στην οποία υποδεικνύονται η αρχή, η κλίμακα και η κατεύθυνση αναφοράς.

Καθιερώνεται μια αντιστοιχία ένα προς ένα μεταξύ πραγματικών αριθμών και σημείων στον αριθμητικό άξονα: οποιοσδήποτε πραγματικός αριθμός αντιστοιχεί σε ένα μόνο σημείο στον αριθμητικό άξονα και αντίστροφα.

Αξίωμα πληρότητας (συνέχειας) του συνόλου των πραγματικών αριθμών. Όποια μη κενά σύνολα A= (a) R και B= (b) R είναι τέτοια ώστε για οποιοδήποτε a και b ισχύει η ανισότητα a ≤ b, υπάρχει ένας αριθμός cR έτσι ώστε a ≤ c ≤ b (Εικ. 5).

Εικ.5. Απεικόνιση του αξιώματος της πληρότητας του συνόλου των πραγματικών αριθμών.

§5. Αριθμητικά σύνολα. Γειτονιά.

Def. Αριθμητικό σύνολοοποιοδήποτε υποσύνολο του συνόλου R ονομάζεται Τα πιο σημαντικά αριθμητικά σύνολα: N, Z, Q, J, καθώς και

τμήμα: (x R |a x b),

διάστημα: (a ,b ) (x R |a x b ), (,)=R

μισά διαστήματα: ( x R| a x b),

(x R | x b).

Τον σημαντικότερο ρόλο στη μαθηματική ανάλυση παίζει η έννοια της γειτονιάς ενός σημείου στον άξονα των αριθμών.

Def. -η γειτονιά του σημείου x 0 είναι ένα διάστημα μήκους 2 με κέντρο στο σημείο x 0 (Εικ. 6):

u (x 0 ) (x 0 , x 0 ).

Ρύζι. 6. Γειτονιά ενός σημείου.

Def. Μια τρυπημένη γειτονιά ενός σημείου είναι μια γειτονιά αυτού του σημείου,

από το οποίο εξαιρείται το ίδιο το σημείο x0 (Εικ. 7):

u (x 0 ) u (x 0 )\(x 0 ) (x 0 ,x 0 ) (x 0 , x 0 ).

Ρύζι. 7. Τρυπημένη γειτονιά σημείου.

Def. Δεξιά - γειτονιά σημείου x0 που ονομάζεται μισό διάστημα

u (x 0 ), εύρος τιμών: E= [-π/2,π/2 ].

Ρύζι. 11. Γράφημα της συνάρτησης y arcsin x.

Ας εισαγάγουμε τώρα την έννοια της σύνθετης συνάρτησης ( συνθέσεις χαρτογραφήσεων). Έστω τρία σύνολα D, E, M και έστω f: D→E, g: E→M. Προφανώς, είναι δυνατό να κατασκευαστεί μια νέα αντιστοίχιση h: D→M, που ονομάζεται σύνθεση αντιστοιχίσεων f και g ή μιγαδική συνάρτηση (Εικ. 12).

Μια μιγαδική συνάρτηση συμβολίζεται ως εξής: z =h(x)=g(f(x)) ή h = f o g.

Ρύζι. 12. Απεικόνιση της έννοιας μιας σύνθετης συνάρτησης.

Καλείται η συνάρτηση f (x). εσωτερική λειτουργίακαι η συνάρτηση g (y)- εξωτερική λειτουργία.

1. Εσωτερική λειτουργία f(x)= x², εξωτερικό g (y) sin y. Μιγαδική συνάρτηση z= g(f(x))=sin(x²)

2. Τώρα είναι το αντίστροφο. Εσωτερική συνάρτηση f (x)= sinx, εξωτερική συνάρτηση g (y) y 2. u=f(g(x))=sin²(x)

Ερωτήσεις για τις εξετάσεις «Μαθηματική Ανάλυση», 1ο έτος, 1ο εξάμηνο.

1. Πλήθη. Βασικές λειτουργίες σε σύνολα. Μετρικοί και αριθμητικοί χώροι.

2. Αριθμητικά σύνολα. Σύνολα στην αριθμητική γραμμή: τμήματα, διαστήματα, ημιάξονες, γειτονιές.

3. Ορισμός οριοθετημένου συνόλου. Άνω και κάτω όρια συνόλων αριθμών. Υποθέσεις σχετικά με τα άνω και κάτω όρια των αριθμητικών συνόλων.

4. Μέθοδος μαθηματικής επαγωγής. Ανισότητες Bernoulli και Cauchy.

5. Ορισμός συνάρτησης. Γράφημα συνάρτησης. άρτιες και περιττές συναρτήσεις. Περιοδικές συναρτήσεις. Μέθοδοι για τον καθορισμό μιας συνάρτησης.

6. Όριο συνέπειας. Ιδιότητες συγκλίνουσες ακολουθίες.

7. Περιορισμένες ακολουθίες. Θεώρημα σε επαρκή συνθήκη για την απόκλιση μιας ακολουθίας.

8. Ορισμός μονοτονικής ακολουθίας. Το θεώρημα του Weierstrass για μια μονότονη ακολουθία.

9. Αριθμός ε.

10. Όριο συνάρτησης σε σημείο. Όριο συνάρτησης στο άπειρο. Μονόπλευρα όρια.

11. Απειροελάχιστες συναρτήσεις. Όριο αθροίσματος, γινόμενο και πηλίκο συναρτήσεων.

12. Θεωρήματα για τη σταθερότητα των ανισοτήτων. Πέρασμα στο όριο στις ανισότητες. Θεώρημα για τρεις συναρτήσεις.

13. Το πρώτο και το δεύτερο είναι υπέροχα όρια.

14. Συναρτήσεις απείρως μεγάλες και η σύνδεσή τους με απειροελάχιστες συναρτήσεις.

15. Σύγκριση απειροελάχιστων συναρτήσεων. Ιδιότητες ισοδύναμων απειροελάχιστων. Θεώρημα για την αντικατάσταση απειρομικρών με ισοδύναμα. Βασικές ισοδυναμίες.

16. Συνέχεια συνάρτησης σε σημείο. Δράσεις με συνεχείς λειτουργίες. Συνέχεια βασικών στοιχειωδών λειτουργιών.

17. Ταξινόμηση σημείων ασυνέχειας συναρτήσεων. Ορισμός κατά συνέχεια

18. Ορισμός σύνθετης συνάρτησης. Όριο σύνθετης συνάρτησης. Συνέχεια σύνθετης συνάρτησης. Υπερβολικές συναρτήσεις

19. Συνέχεια συνάρτησης σε τμήμα. Τα θεωρήματα του Cauchy για την εξαφάνιση μιας συνεχούς συνάρτησης σε ένα διάστημα και για την ενδιάμεση τιμή της συνάρτησης.

20. Ιδιότητες συναρτήσεων συνεχόμενες σε ένα διάστημα. Το θεώρημα του Weierstrass για το όριο μιας συνεχούς συνάρτησης. Το θεώρημα του Weierstrass για τις μεγαλύτερες και μικρότερες τιμές μιας συνάρτησης.

21. Ορισμός μονοτονικής συνάρτησης. Το θεώρημα του Weierstrass για το όριο μιας μονότονης συνάρτησης. Θεώρημα για το σύνολο τιμών μιας συνάρτησης που είναι μονότονη και συνεχής σε ένα διάστημα.

22. Αντίστροφη συνάρτηση. Γράφημα της αντίστροφης συνάρτησης. Θεώρημα για την ύπαρξη και τη συνέχεια της αντίστροφης συνάρτησης.

23. Αντίστροφες τριγωνομετρικές και υπερβολικές συναρτήσεις.

24. Προσδιορισμός της παραγώγου συνάρτησης. Παράγωγοι βασικών στοιχειωδών συναρτήσεων.

25. Ορισμός διαφοροποιήσιμης συνάρτησης. Απαραίτητη και επαρκής συνθήκη διαφοροποίησης μιας συνάρτησης. Συνέχεια διαφοροποιήσιμης συνάρτησης.

26. Γεωμετρική σημασία της παραγώγου. Εξίσωση της εφαπτομένης και της κάθετης στη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης.

27. Παράγωγος του αθροίσματος, του γινομένου και του πηλίκου δύο συναρτήσεων

28. Παράγωγος μιγαδικής συνάρτησης και αντίστροφη συνάρτησή της.

29. Λογαριθμική διαφοροποίηση. Παράγωγος συνάρτησης που δίνεται παραμετρικά.

30. Το κύριο μέρος της αύξησης της συνάρτησης. Τύπος γραμμικοποίησης συναρτήσεων. Γεωμετρική έννοια του διαφορικού.

31. Διαφορικό μιγαδικής συνάρτησης. Αμετάβλητο του σχήματος του διαφορικού.

32. Θεωρήματα Rolle, Lagrange και Cauchy για τις ιδιότητες των διαφοροποιήσιμων συναρτήσεων. Τύπος πεπερασμένης αύξησης.

33. Εφαρμογή παραγώγου στη γνωστοποίηση αβεβαιοτήτων εντός ορίων. Ο κανόνας του L'Hopital.

34. Ορισμός παραγώγουντη τάξη. Κανόνες εύρεσης της παραγώγου nης τάξης. Ο τύπος του Leibniz. Διαφορές υψηλότερων τάξεων.

35. Ο τύπος του Taylor με έναν υπόλοιπο όρο σε μορφή Peano. Όροι υπολειμμάτων σε μορφές Lagrange και Cauchy.

36. Αύξηση και μείωση συναρτήσεων. Ακραία σημεία.

37. Κυρτότητα και κοιλότητα συνάρτησης. Σημεία καμπής.

38. Ατελείωτες διακοπές χαρακτηριστικών. Ασύμπτωτοι.

39. Σχέδιο κατασκευής γραφήματος συνάρτησης.

40. Ορισμός αντιπαραγώγου. Βασικές ιδιότητες του αντιπαραγώγου. Οι απλούστεροι κανόνες ένταξης. Πίνακας απλών ολοκληρωμάτων.

41. Ολοκλήρωση με αλλαγή μεταβλητής και ο τύπος ολοκλήρωσης κατά μέρη στο αόριστο ολοκλήρωμα.

42. Ενσωμάτωση εκφράσεων της φόρμας e ax cos bx και e ax sin bx χρησιμοποιώντας σχέσεις επανάληψης.

	43. Ολοκλήρωση κλασμάτων			χρησιμοποιώντας σχέσεις υποτροπής.
			a 2 n

44. Αόριστο ολοκλήρωμα λογικής συνάρτησης. Ολοκλήρωση απλών κλασμάτων.

45. Αόριστο ολοκλήρωμα λογικής συνάρτησης. Αποσύνθεση των κατάλληλων κλασμάτων σε απλά.

46. Αόριστο ολοκλήρωμα παράλογης συνάρτησης. Ενσωμάτωση εκφράσεων

	R x, m

47. Αόριστο ολοκλήρωμα παράλογης συνάρτησης. Ολοκλήρωση παραστάσεων της μορφής R x , ax 2 bx c . Αλλαγές του Όιλερ.

48. Ολοκλήρωση εκφράσεων της φόρμας

ax2 bx c

ax2 bx c

2 bx γ

49. Αόριστο ολοκλήρωμα παράλογης συνάρτησης. Ολοκλήρωση διωνυμικών διαφορικών.

50. Ενσωμάτωση τριγωνομετρικών εκφράσεων. Καθολική τριγωνομετρική αντικατάσταση.

51. Ολοκλήρωση ορθολογικών τριγωνομετρικών εκφράσεων στην περίπτωση που το ολοκλήρωμα είναι περιττό ως προς την αμαρτία x (ή cos x) ή ακόμη και σε σχέση με το sin x και το cos x.

52. Ενσωμάτωση εκφράσεων sin n x cos m x και sin nx cos mx .

53. Ενσωμάτωση εκφράσεων tg m x και ctg m x .

54. Ενσωμάτωση εκφράσεων R x , x 2 a 2 , R x , a 2 x 2 και R x , x 2 a 2 χρησιμοποιώντας τριγωνομετρικές αντικαταστάσεις.

55. Ορισμένο ολοκλήρωμα. Το πρόβλημα του υπολογισμού του εμβαδού ενός κυρτού τραπεζοειδούς.

56. Ολοκληρωτικά αθροίσματα. Ποσά Darboux. Θεώρημα για την προϋπόθεση ύπαρξης ορισμένου ολοκληρώματος. Κατηγορίες ολοκληρωμένων συναρτήσεων.

57. Ιδιότητες ορισμένου ολοκληρώματος. Θεωρήματα μέσης τιμής.

58. Ορισμένο ολοκλήρωμα σε συνάρτηση με το ανώτερο όριο. Τύπος Newton-Leibniz.

59. Τύπος αλλαγής μεταβλητής και τύπος ολοκλήρωσης κατά μέρη σε καθορισμένο ολοκλήρωμα.

60. Εφαρμογή του ολοκληρωτικού λογισμού στη γεωμετρία. Όγκος του σχήματος. Όγκος ψηφίων περιστροφής.

61. Εφαρμογή του ολοκληρωτικού λογισμού στη γεωμετρία. Περιοχή επίπεδης φιγούρας. Εμβαδόν καμπύλου τομέα. Μήκος καμπύλης.

62. Ορισμός ακατάλληλου ολοκληρώματος πρώτου είδους. Τύπος Newton-Leibniz για ακατάλληλα ολοκληρώματα πρώτου είδους. Οι απλούστερες ιδιότητες.

63. Σύγκλιση ακατάλληλων ολοκληρωμάτων πρώτου είδους για θετική συνάρτηση. 1ο και 2ο θεωρήματα σύγκρισης.

64. Απόλυτη και υπό συνθήκη σύγκλιση ακατάλληλων ολοκληρωμάτων πρώτου είδους από εναλλασσόμενη συνάρτηση. Δοκιμές για τη σύγκλιση Abel και Dirichlet.

65. Ορισμός ακατάλληλου ολοκληρώματος δεύτερου είδους. Τύπος Newton-Leibniz για ακατάλληλα ολοκληρώματα δεύτερου είδους.

66. Σύνδεση ακατάλληλων ολοκληρωμάτων 1ο και 2ο είδος. Ακατάλληλα ολοκληρώματα με την έννοια της κύριας αξίας.