Технологични и рентабилни производствени методи. Технологията като ограничение

С помощта на технологични комплектимоделират се производствени процеси, които се извършват от производствената система. Всяка система има входове и изходи:

Производственият процес се представя като процес на недвусмислено превръщане на производствените фактори в производствени продукти в рамките на даден интервал от време. През този интервал от време факторите напълно изчезват и се появяват продукти.

При такова моделиране - превръщането на факторите в продукти - ролята на вътрешната структура на производствената система, нейната организация и методи за управление на производството е напълно скрита.

Наблюдателите имат достъп до информация за състоянието на входовете и изходите на системата. Тези състояния се определят, от една страна, от точка в пространството на стоките и факторите, а от друга, състоянието на изходите се определя от точка в пространството на изходите.

Космическите модели включват много космически фактори, много космически параметри и много налични технологии.

Технологията е технически начин за превръщане на производствените фактори в продукти.

Технологичният процес е подреден набор от два вектора, където е векторът на производствените фактори и е векторът на продуктите. Технологичният процес е най-простият модел на пространството, който се определя от редица елементи:

Така технологичният процес се описва с набор от (n+m)числа: .

Например, нека вземем компютър от тип А и , тоест произвежда се един компютър, тогава се описва този технологичен процес 7+1=8 числа.

В практиката на моделиране на реални производствени системи като първо приближение се използва хипотезата за линейните технологии.

Линейността на технологиите предполага увеличаване на продуктите Vс нарастващ набор от фактори U.

Нека разгледаме основните свойства на технологичните процеси:

1. Сходство.

Технологичният процес е подобен, т.е. ~ ако условието е изпълнено: , което означава, че това е същият технологичен процес, но протичащ с интензивност:

За такива процеси е изпълнена системата от равенства:

Подобни процеси се намират в една и съща производствена линия.

2. Разлика.

различни технологични процесилежат на различни лъчи и не могат да се преобразуват един в друг чрез умножение по положително число.

3. Съставни технологични процеси.

Процесът се нарича съставен, ако съществува и , че .

Процес, който не е съставен, се нарича основен.

Лъчът, преминаващ през началото по посока на основния процес, се нарича основен лъч. Всяка основна греда съответства на базова технология и всички точки на основната греда отразяват сходни технологични процеси.

По дефиниция един основен технологичен процес не може да се изрази чрез линейна комбинация от други технологични процеси.

В положителния октант можете да поставите хиперравнина, която отрязва единични сегменти от всяка координата.

Това ви позволява да визуализирате производствените технологии.

Ще покажем възможни пресичания на хиперравнината с технологични лъчи.

1) Единствената налична технология е базова.

2) Появата на нови допълнителни основни технологии.

3) Линейна комбинация от две основни технологии.

4) Трета допълнителна основна технология.

5) Възможност за формиране на технологии, разположени вътре в триъгълната област.

6) Две триъгълни зони с шест основни технологии.

7) Комбиниране на технологии - изпъкнал шестоъгълник.

8) Случаят с безкраен брой основни технологии е възможен.

В тези графични изображения всички вътрешни и гранични точки, с изключение на върховете, отразяват съставните технологични процеси, а наборът от всички технологични процеси се нарича технологичен набор З.

Технологичните комплекти имат следните свойства:

1. Неосъзнаване на рога на изобилието.

(Ø, V)Z, следователно, V= Ø.

(Ø, Ø) Zозначава бездействие.

2. Технологичното множество е изпъкнало и процесите, чиито лъчи лежат на границата на това множество, могат да се смесват помежду си.

3. Технологичният набор е ограничен отгоре поради ограничените икономически ресурси.

4. Технологичният набор е затворен, а ефективните технологии лежат на границата на този набор.

Специфично свойство на технологичните комплекси е наличието на неефективни процеси.

Ако , тогава са възможни всякакви технологични процеси, които отговарят на условието (за фактори) (за продукти).

Съществува ( ,Ø) Z, което означава пълно унищожаване на производствените фактори. В него изобщо не възникват продукти.

Технологичният процес е по-ефективен от ако и/или.

ПРОИЗВОДСТВЕНА ФУНКЦИЯ.

Математическото описание на един ефективен процес може да бъде преобразувано в производствена функция чрез агрегиране на производствените фактори, както и чрез агрегиране на производствените продукти в един продукт.

Министерство на образованието и науката на Руската федерация

Новгородски държавен университет на името на Ярослав Мъдри

Резюме по дисциплината:

Управление

Изпълнено от студент гр.6061 зо

Макарова С.В.

Прието от Сучков А.В.

Велики Новгород

1. ПРОИЗВОДСТВЕН ПРОЦЕС И НЕГОВИТЕ ЕЛЕМЕНТИ.

Основата на производствената и икономическата дейност на предприятието е производственият процес, който е съвкупност от взаимосвързани трудови процеси и природни процеси, насочени към производството на определени видове продукти.
Организацията на производствения процес се състои в обединяването на хора, инструменти и предмети на труда в единен процес за производство на материални блага, както и осигуряване на рационално съчетаване в пространството и времето на основните, спомагателни и обслужващи процеси.

Производствените процеси в предприятията са детайлизирани по съдържание (процес, етап, операция, елемент) и място на изпълнение (предприятие, производствено звено, цех, отдел, участък, звено).
Множеството производствени процеси, протичащи в едно предприятие, съставляват общия производствен процес. Производственият процес на всеки отделен вид продукт на предприятието се нарича частен производствен процес. От своя страна, в частния производствен процес частичните производствени процеси могат да бъдат разграничени като цялостни и технологично изолирани елементи от частния производствен процес, които не са основни елементи на производствения процес (обикновено се извършва от работници с различни специалности, използващи оборудване за различни цели).
Трябва да се разглежда като основен елемент от производствения процес технологична операция- технологично еднородна част от производствения процес, извършвана на едно работно място. Технологично изолираните частични процеси представляват етапи от производствения процес.
Частичните производствени процеси могат да бъдат класифицирани според няколко критерия:

По предназначение;

Естеството на курса във времето;

Методът за въздействие върху предмета на работа;

Естеството на използвания труд.
Процесите се разграничават по предназначение основни, спомагателни и обслужващи.
Основенпроизводствени процеси - процеси на превръщане на суровините в готови продукти, които са основни, основни
продукти за това предприятие. Тези процеси се определят от технологията на производство на този вид продукт (подготовка на суровини, химичен синтез, смесване на суровини, опаковане и опаковане на продукти).
Помощнипроизводствените процеси са насочени към производство на продукти или извършване на услуги за осигуряване на нормалното протичане на основните производствени процеси. Такива производствени процеси имат свои собствени предмети на труда, различни от предметите на труда на основните производствени процеси. По правило те се извършват паралелно с основните производствени процеси (ремонт, опаковане, управление на инструменти).
Придружителипроизводствените процеси осигуряват създаването на нормални условия за протичане на основните и спомагателните производствени процеси. Те нямат собствен предмет на труда и по правило протичат последователно основните и спомагателните процеси, разпръснати с тях (транспортиране на суровини и готови продукти, тяхното съхранение, контрол на качеството).
Основните производствени процеси в основните цехове (участъци) на предприятието формират основното му производство. Спомагателни и обслужващи производствени процеси, съответно в спомагателни и обслужващи цехове, образуват спомагателно съоръжение.
Различните роли на производствените процеси в цялостния производствен процес обуславят различията в механизмите за управление на различните видове производствени единици. В същото време класификацията на частични производствени процеси според тяхното предназначение може да се извърши само по отношение на конкретен частен процес.
Комбинацията от основни, спомагателни, обслужващи и други процеси в определена последователност образува структурата на производствения процес.
Основният производствен процес представлява процеса на производство на основните продукти, който включва природни процеси, технологични и работни процеси, както и междуоперативна поддръжка.
Естественият процес е процес, който води до промяна на свойствата и състава на предмета на труда, но протича без човешка намеса (например при производството на определени видове химически продукти).

Естествените производствени процеси могат да се разглеждат като необходими технологични паузи между операциите (охлаждане, сушене, стареене и др.)
Технологиченпроцесът е набор от процеси, в резултат на които в предмета на труда настъпват всички необходими промени, т.е. той се превръща в готов продукт.
Спомагателните операции допринасят за изпълнението на основните операции (транспортиране, контрол, сортиране на продукти и др.).
Работен процес - съвкупност от всички работни процеси (основни и спомагателни операции).
Структурата на производствения процес се променя под влияние на технологията на използваното оборудване, разделението на труда, организацията на производството и др.
Оперативен мониторинг - почивки, предвидени от технологичния процес.
Според характера на протичане на времето те разграничават непрекъснатои периодиченпроизводствени процеси. При непрекъснати процеси няма прекъсвания в производствения процес. Операциите по поддръжката на производството се извършват едновременно или успоредно с основните операции. При периодичните процеси изпълнението на основните и обслужващи операции става последователно, поради което основният производствен процес се прекъсва във времето.
Според метода на въздействие върху предмета на труда те се разграничават механични, физични, химични, биологичнии други видове производствени процеси.
Според естеството на използвания труд производствените процеси се класифицират на автоматизирани, механизирани и ръчни.

Принципите на организация на производствения процес представляват отправните точки, въз основа на които се осъществява изграждането, функционирането и развитието на производствения процес.

Съществуват следните принципи за организиране на производствения процес:
диференциация - разделяне на производствения процес на отделни части (процеси, операции, етапи) и приписването им на съответните подразделения на предприятието;
комбиниране - комбиниране на всички или на част от различни процеси за производство на определени видове продукти в рамките на един обект, цех или производство;
концентрация - концентрацията на определени производствени операции за производство на технологично хомогенни продукти или извършване на функционално хомогенна работа на отделни работни места, зони, цехове или производствени съоръжения на предприятието;
специализация - възлагане на всяко работно място и всеки отдел на строго ограничен набор от работи, операции, части и продукти;
универсализация - производството на части и продукти от широка гама или извършването на разнородни производствени операции на всяко работно място или производствена единица;
пропорционалност - комбинация от отделни елементи на производствения процес, която се изразява в определеното им количествено съотношение помежду си;
паралелизъм - едновременна обработка на различни части от една партида за дадена операция на няколко работни места и др.;
директност - изпълнението на всички етапи и операции на производствения процес в условията на най-краткия път през предмета на труда от началото до края;
ритмичност - повторение през установени периоди от време на всички отделни производствени процеси и единичен процес за производство на определен вид продукт.
Горните принципи на организация на производството на практика не действат изолирано един от друг; те са тясно преплетени във всеки производствен процес. Принципите на организация на производството се развиват неравномерно - в един или друг период един или друг принцип излиза на преден план или придобива второстепенно значение.
Ако пространствената комбинация от елементи на производствения процес и всички негови разновидности се осъществява въз основа на формирането на производствената структура на предприятието и неговите подразделения, организацията на производствените процеси във времето се изразява в установяване на реда за извършване на индивидуална логистика операции, рационално съчетаване на времето за извършване на различни видове работа, определяне на календарни и планирани норми за движение на предметите на труда.
Основата за изграждане на ефективна производствена логистична система е производствен график, формиран въз основа на задачата да отговори на потребителското търсене и да отговори на въпросите: кой, какво, къде, кога и в какво количество ще произвежда (произведе). Производственият график дава възможност да се установят обемни и времеви характеристики на материалните потоци, диференцирани за всяка структурна производствена единица.
Използваните методи за създаване на производствен график зависят от вида на производството, както и от характеристиките на търсенето и параметрите на поръчките: единични, дребномащабни, серийни, едромащабни, масови.
Характеристиките на типа производство се допълват от характеристиките на производствения цикъл - това е периодът от време между началото и края на производствения процес по отношение на конкретен продукт в рамките на логистичната система (предприятие).
Производственият цикъл се състои от работно време и почивка по време на производството на продуктите.
От своя страна работният период се състои от основното технологично време, времето за извършване на транспортни и контролни операции и времето за бране.
Времето на почивките се разделя на време на междуоперативни, междуобектови и други почивки.
Продължителността на производствения цикъл до голяма степен зависи от характеристиките на движението на материалния поток, който може да бъде последователен, паралелен, паралелно-последователен.
В допълнение, продължителността на производствения цикъл се влияе и от формите на технологична специализация на производствените единици, системата на организация на самите производствени процеси, прогресивността на използваната технология и нивото на унификация на произвежданите продукти.
Производственият цикъл включва и време на изчакване - това е интервалът от момента на получаване на поръчка до началото на нейното изпълнение, за минимизирането на който е важно първоначално да се определи оптималната партида от продукти - партида, при която разходите за продукт са минимален.
За да се реши проблемът с избора на оптимална партида, общоприето е, че производствените разходи се състоят от преки производствени разходи, разходи за съхранение на материални запаси и разходи за смяна на оборудването и престой при смяна на партиди.
На практика оптималната партида често се определя чрез директно преброяване, но при създаването на логистични системи е по-ефективно да се използват методи за математическо програмиране.
Във всички сфери на дейност, но особено в производствената логистика, системата от норми и стандарти е от изключително значение. Той включва както обобщени, така и подробни стандарти за потребление на материали, енергия, използване на оборудване и др.

2. Методи за решаване на транспортния проблем.

Транспортен проблем (класически)- проблем за оптималния план за транспортиране на хомогенен продукт от хомогенни точки на наличност до хомогенни точки на потребление на хомогенни превозни средства (предварително определено количество) със статични данни и линеен подход (това са основните условия на проблема).

За класическата транспортна задача се разграничават два вида задачи: критерият за разходите (постигане на минимум транспортни разходи) или разстояния и критерият за време (минимално време се изразходва за транспортиране).

История на търсенето на методи за решение

За първи път проблемът е формализиран от френски математик Гаспар Монж V 1781 година . Основният напредък беше направен в полетата през Великата отечествена войнасъветски математик и икономист Леонид Канторович . Ето защо този проблем понякога се нарича Транспортен проблем Монж-Канторович.

Характеристики на инфлационните процеси в съвременна Русия.

1. Концепцията за производство и PF. Производствен комплект.

2. Проблем за максимизиране на печалбата

3. Равновесие на производителя. Технологичен прогрес

4. Проблем с минимизиране на разходите.

5. Агрегирането в теорията на производството. Равновесие на фирмата и индустрията в периода d/s

(независимо) предложение на конкурентни фирми с алтернативни цели

производство– дейностите, насочени към производството на максимално количество материални блага, зависят от броя на използваните производствени фактори, определени от технологичния аспект на производството.

Всеки технологичен процес може да бъде представен с помощта на вектор проблеми с мрежата, което ще обозначим с y. Ако според тази технология една компания произвежда i-тия продукт, тогава i-тата координата на вектора y ще бъде положителна. Ако, напротив, i-тият продукт е изразходван, тогава тази координата ще бъде отрицателна. Ако определен продукт не се консумира и произвежда по тази технология, тогава съответната координата ще бъде равна на 0.

Ще наречем множеството от всички технологично достъпни вектори на нетните резултати за дадена фирма производственото множество на фирмата и ще го обозначим с Y.

Свойства на производствените комплекти:

1. Производственият комплект не е празен, т.е. Фирмата разполага с поне един технологичен процес.

2. Производственият комплект е затворен.

3. Липса на „рог на изобилието”: ако y 0 и y ∊Y, то y=0. Не можете да произвеждате нещо, без да харчите нищо (не y<0, т.е. ресурсов).

4. Възможност за бездействие (ликвидация): 0∊Y. в действителност може да има невъзвратими разходи.

5. Свобода на харчене: y∊Y и y` y, след това y`∊Y. Производственият набор включва не само оптимални технологии, но и технологии с по-ниска производителност/потребление на ресурси.

6. необратимост. Ако y∊Y и y 0, тогава –y Y. Ако от 2 единици от първото благо е възможно да се произведе 1 от второто, тогава обратният процес не е възможен.

7. Изпъкналост: ако y`∊Y, тогава αy + (1-α)y` ∊ Y за всички α∊. Строга изпъкналост: за всички α∊(0,1). Свойство 7 ви позволява да комбинирате технологии, за да получите други налични технологии.

8. Връщане към мащаба:

Ако в процентно отношение обемът на използваните фактори се е променил с ∆N, а съответната промяна в изхода беше ∆Q, тогава възникват следните ситуации:

- ∆N = ∆Qима пропорционална възвръщаемост (увеличаването на броя на факторите води до съответно увеличение на продукцията)

- ∆N< ∆Q има нарастваща възвръщаемост (положителни икономии от мащаба) – т.е. продукцията се е увеличила в по-голяма степен, отколкото се е увеличил броят на консумираните фактори

- ∆N > ∆Qима намаляваща възвръщаемост (дискономии от мащаба) – т.е. увеличаването на разходите води до по-малък процент увеличение на продукцията

Икономиите от мащаба са от значение в дългосрочен план. Ако увеличаването на мащаба на производството не води до промяна в производителността на труда, имаме работа с постоянна възвращаемост от мащаба. Намаляващата възвръщаемост от мащаба е придружена от намаляване на производителността на труда, докато нарастващата възвръщаемост е придружена от увеличение.

Ако наборът от стоки, които се произвеждат, е различен от набора от ресурси, които се използват, и се произвежда само един продукт, тогава производственият набор може да бъде описан с помощта на производствена функция.

Производствена функция(PF) - отразява връзката между максималната продукция и определена комбинация от фактори (труд и капитал) и при дадено ниво на технологично развитие на обществото.

Q=f(f1,f2,f3,...fn)

където Q е продукцията на фирмата за определен период от време;

fi е количеството на i-тия ресурс, използван при производството на продукти;

Обикновено има три фактора на производство: труд, капитал и материали. Ще се ограничим до анализа на два фактора: труд (L) и капитал (K), тогава производствената функция приема формата: Q =f(K, L).

Видовете PF могат да варират в зависимост от естеството на технологията и могат да бъдат представени в три вида:

Линеен PF от формата y = ax1 + bx2 се характеризира с постоянна възвращаемост от мащаба.

Leontiev PF - в който ресурсите се допълват взаимно, комбинацията им се определя от технологията и производствените фактори не са взаимозаменяеми.

PF Коб-Дъглас– функция, при която използваните производствени фактори имат свойството да бъдат взаимозаменяеми. Общ изгледХарактеристики:

Където A е технологичният коефициент, α е коефициентът на еластичност на труда, а β е коефициентът на еластичност на капитала.

Ако сумата от експонентите (α + β) е равна на единица, тогава функцията на Коб-Дъглас е линейно хомогенна, т.е. демонстрира постоянна възвръщаемост при промяна на мащаба на производството.

Производствената функция е изчислена за първи път през 20-те години на миналия век за производствената индустрия на САЩ под формата на равенството

За Cobb-Douglas PF:

1. Тъй като a< 1 и b < 1, предельный продукт каждого фактора меньше среднего продукта (МРК < АРК и MPL < APL).

2. Тъй като вторите производни на производствената функция за труда и капитала са отрицателни, може да се твърди, че тази функция се характеризира с намаляващ пределен продукт както на труда, така и на капитала.

3. Тъй като стойността на MRTSL намалява, K постепенно намалява. Това означава, че изоквантите на производствената функция имат стандартна форма: те са гладки изокванти с отрицателен наклон, изпъкнали към началото.

4. Тази функция се характеризира с постоянна (равна на 1) еластичност на заместване.

5. Функцията Cobb-Douglas може да характеризира всеки тип възвръщаемост от мащаба, в зависимост от стойностите на параметрите a и b

6. Въпросната функция може да служи за описание различни видоветехнически прогрес.

7 Параметрите на степенния закон на функцията са коефициентите на еластичност на продукцията по отношение на капитала (a) и труда (b), така че уравнението за темпа на растеж на продукцията (8.20) за функцията на Cobb-Douglas приема формата GQ = Gz + aGK + bGL. По този начин параметър a характеризира „приноса“ на капитала за увеличаване на продукцията, а параметър b характеризира „приноса“ на труда.

PF се основава на редица „производствени характеристики“. Те се отнасят до ефекта на продукцията в три случая: (1) пропорционално увеличение на всички разходи, (2) промяна в структурата на разходите при постоянна продукция, (3) увеличение на един производствен фактор при непроменени останали. случай (3) се отнася до краткосрочния период.

Производствената функция с един променлив фактор има формата:

Виждаме, че най-ефективната промяна в променливия фактор X се наблюдава на сегмента от точка А до точка Б. Тук пределният продукт (MP), след като достигна максималната си стойност, започва да намалява, средният продукт (AP) все още се увеличава , общият продукт (TP) получава най-голям ръст

Закон за намаляващата възвръщаемост(закон за намаляващия пределен продукт) - определя ситуация, при която постигането на определени производствени обеми води до намаляване на производството на готови продукти на допълнително въведена единица ресурс.

Обикновено този обем може да бъде произведен от по различни начинипроизводство. Това се дължи на факта, че производствените фактори са взаимозаменяеми до известна степен. Възможно е да се начертаят изокванти, съответстващи на всички производствени методи, необходими за производството на даден обем. В резултат на това получаваме изоквантна карта, която характеризира връзката между всички възможни комбинации от входове и изходни нива и следователно е графична илюстрация на производствената функция.

Изокванта (линия на еднаква продукция - изокванта) - крива, отразяваща всички комбинации от производствени фактори, които осигуряват еднаква продукция.

Набор от изокванти, всяка от които показва максималния резултат, постигнат чрез използване на определени комбинации от ресурси, се нарича карта на изоквантите. Колкото по-далеч е изоквантата от началото, толкова повече ресурси са включени в производствените методи, разположени върху нея и толкова повече по-големи размериизходи, които се характеризират с тази изокванта (Q3> Q2> Q1).

Изоквантата и нейната форма отразяват зависимостта, зададена от PF. В дългосрочен план има известно взаимно допълване (пълнота) на производствените фактори, но без намаляване на производството е вероятна и известна взаимозаменяемост на тези производствени фактори. По този начин различни комбинации от ресурси могат да бъдат използвани за производството на стока; възможно е да се произведе тази стока, използвайки по-малко капитал и повече труд, и обратното. В първия случай производството се счита за технически ефективно в сравнение с втория случай. Въпреки това има ограничение за това колко труд може да бъде заменен с повече капитал, без да се намалява производството. От друга страна, има ограничение за използването на ръчен труд без използването на машини. Ще разгледаме изоквантата в зоната на техническо заместване.

Степента на взаимозаменяемост на факторите се отразява от показателя максимална степен на техническа замяна. – пропорцията, в която един фактор може да бъде заменен с друг при запазване на същия обем на продукцията; отразява наклона на изоквантата.

MRTS=- ∆K / ∆ L = MP L / MP K

За да може продукцията да остане непроменена, когато се промени количеството на използваните производствени фактори, количествата труд и капитал трябва да се променят в различни посоки. Ако размерът на капитала намалее (AK< 0), то количество труда должно увеличиваться (AL >0). Междувременно пределната норма на техническо заместване е просто пропорцията, в която един производствен фактор може да бъде заменен с друг, и като такава винаги е положителна величина.

2. Производствени комплекти и производствени функции

2.1. Производствени комплекти и техните свойства

Нека разгледаме най-важния участник в икономическите процеси - отделен производител. Производителят реализира своите цели само чрез потребителя и следователно трябва да познае, да разбере какво иска и да задоволи нуждите му. Ще приемем, че има n различни стоки, количеството на n-тия продукт е означено с x n, тогава определен набор от стоки е означен с X = (x 1, ..., x n). Ще разглеждаме само неотрицателни количества стоки, така че x i  0 за всяко i = 1, ..., n или X > 0. Множеството от всички набори от стоки се нарича пространство от стоки C. Набор от стоките могат да се третират като кошница, в която тези стоки се намират в подходящи количества.

Нека икономиката работи в пространството на стоките C = (X = (x 1, x 2, …, x n): x 1, …, x n  0). Продуктовото пространство се състои от неотрицателни n-мерни вектори. Нека сега разгледаме вектор T с размерност n, чиито първи m компоненти са неположителни: x 1, …, x m  0, а последните (n-m) компоненти са неотрицателни: x m +1, …, x n  0. Вектор X = (x 1,…, x m ) да извикаме вектор на разходите, и вектор Y = (x m+1 , …, x n) – освобождаващ вектор. Нека наречем вектора T = (X,Y) входно-изходен вектор или технология.

По смисъла си технологията (X,Y) е начин за преработка на ресурси в готови продукти: чрез „смесване“ на ресурси в количество X, получаваме продукти в количество Y. Всеки конкретен производител се характеризира с определен набор τ на технологиите, което се нарича производствен комплект. Типичен засенчен набор е показан на фиг. 2.1. Този производител използва един продукт, за да произвежда друг.

ориз. 2.1. Производствен комплект

Производственият комплект отразява широчината на възможностите на производителя: колкото по-голям е, толкова по-широки са неговите възможности.Производственият комплект трябва да отговаря на следните условия:

той е затворен - това означава, че ако входно-изходният вектор T е апроксимиран толкова точно, колкото желаете, от вектори от τ, тогава T също принадлежи на τ (ако всички точки на вектора T лежат в τ, тогава Tτ вижте фиг. 2.1 точки C и B);

в τ(-τ) = (0), т.е. ако Tτ, T ≠ 0, тогава -Tτ – разходите и продукцията не могат да бъдат разменени, т.е. производството е необратим процес (набор – τ е в четвъртия квадрант , където y е 0);

наборът е изпъкнал, това предположение води до намаляване на възвръщаемостта на обработените ресурси с увеличаване на производствените обеми (до увеличаване на нормата на разходите за готови продукти). И така, от фиг. 2.1 е ясно, че y/x  намалява като x  -. По-специално, предположението за изпъкналост води до намаляване на производителността на труда с увеличаване на производството.

Често изпъкналостта просто не е достатъчна и тогава е необходима стриктна изпъкналост на производствения комплект (или част от него).

2.2. Крива на производствените възможности

и алтернативни разходи

Разглежданата концепция за производствен набор се отличава с висока степен на абстракция и поради изключителната си обобщеност е малко полезна за икономическа теория.

Помислете например за фиг. 2.1. Да започнем с точки B и C. Разходите за тези технологии са еднакви, но резултатът е различен. Производителят, ако не е лишен от здрав разум, никога няма да избере технология B, тъй като има по-добра технология C. В този случай (виж Фиг. 2.1), намираме за всяко x  0 най-високата точка (x, y ) в производствения комплект . Очевидно при цена x технологията (x, y) е най-добрата. Няма технология (x, b) с b производствена функция. Точната дефиниция на производствената функция:

Y = f(x)(x, y) τ и ако (x, b)  τ и b  y, тогава b = x .

От фиг. 2.1 е ясно, че за всяко x  0 такава точка y = f(x) е единствена, което всъщност ни позволява да говорим за производствена функция. Но ситуацията е толкова проста, ако се произвежда само един продукт. В общия случай за вектора на разходите X означаваме множеството M x = (Y:(X,Y)τ). Задайте M x – е множеството от всички възможни изходи по разходи X. В този набор разгледайте „кривата“ на производствените възможности K x = (YM x: ако ZM x и Z  Y, тогава Z = X), т.е. K x – това са много от най-добрите версии, няма по-добри. Ако се произвеждат две стоки, това е крива, но ако се произвеждат повече от две стоки, тогава това е повърхност, тяло или набор от още по-големи измерения.

И така, за всеки вектор на разходите X, всички най-добри резултати лежат на кривата на производствените възможности (повърхността). Следователно, поради икономически причини, производителят трябва да избере технологията оттам. За случая на освобождаване на две стоки y 1, y 2 картината е показана на фиг. 2.2.

Ако оперираме само с физически показатели (тонове, метри и т.н.), тогава за даден вектор на разходите X трябва само да изберем вектора на продукцията Y на кривата на производствените възможности, но все още не може да се реши коя конкретна продукция да бъде избрана. Ако самото производствено множество τ е изпъкнало, тогава M x също е изпъкнало за всеки вектор на разходите X. В това, което следва, ще се нуждаем от строга изпъкналост на набора M x. В случай на производство на две стоки това означава, че допирателната към кривата на производствените възможности K x има само една обща точка с тази крива.

ориз. 2.2. Крива на производствените възможности

Нека сега разгледаме въпроса за т.нар алтернативни разходи. Да приемем, че изходът е фиксиран в точка A(y 1, y 2), вижте фиг. 2.2. Сега има нужда да се увеличи производството на втория продукт с y 2, като се използва, разбира се, същият набор от разходи. Това може да се направи, както се вижда от фиг. 2.2, прехвърляйки технологията в точка Б, за която при увеличаване на производството на втория продукт с y 2 ще е необходимо да се намали производството на първия продукт с y 1.

Вмененоразходипървият продукт по отношение на втория в точкатаА наречен
. Ако кривата на производствените възможности е дадена от неявното уравнение F(y 1 ,y 2) = 0, тогава δ 1 2 (A) = (F/y 2)/(F/y 1), където частичните производни се вземат в точка А. Ако се вгледате внимателно във въпросната фигура, ще откриете интересен модел: когато се движите надолу по кривата на производствените възможности отляво, алтернативните разходи намаляват от много големи стойности до много малки .

2.3. Производствени функции и техните свойства

Производствената функция е аналитична връзка, която свързва променливите стойности на разходите (фактори, ресурси) с количеството продукция. В исторически план една от първите работи по изграждането и използването на производствените функции е работата по анализа на селскостопанското производство в Съединените щати. През 1909 г. Мичерлих предлага нелинейна производствена функция: торове - добив. Независимо Спилман предложи експоненциално уравнение за добив. На тяхна база са изградени редица други агротехнически производствени функции.

Производствените функции са предназначени да моделират производствения процес на определена икономическа единица: отделна компания, индустрия или цялата икономика на държавата като цяло. С помощта на производствените функции се решават следните проблеми:

оценка на възвращаемостта на ресурсите в производствения процес;

прогнозиране на икономически растеж;

разработване на варианти на план за развитие на производството;

оптимизиране на функционирането на бизнес единица при зададен критерий и ресурсни ограничения.

Обща форма на производствената функция: Y = Y(X 1, X 2, ..., X i, ..., X n), където Y е показател, характеризиращ производствените резултати; X – факторен показател на i-тия производствен ресурс; n – брой факторни показатели.

Производствените функции се определят от две групи допускания: математически и икономически. Математически се очаква производствената функция да бъде непрекъсната и двойно диференцируема. Икономическите допускания са следните: при липса на поне един производствен ресурс производството е невъзможно, т.е. Y(0, X 2, ..., X i, ..., X n) =

Y(X 1 , 0, …, X i , …, X n) = …

Y(X 1, X 2, …, 0, …, X n) = …

Y(X 1, X 2, …, X i, …, 0) = 0.

Въпреки това, не е възможно да се определи задоволително единствената продукция Y за дадени разходи X, като се използват естествени показатели: нашият избор е стеснен само до „кривата“ на производствените възможности K x . Поради тези причини е разработена само теорията на производствените функции на производителите, чиято продукция може да се характеризира с една стойност - или обемът на продукцията, ако се произвежда един продукт, или общата стойност на цялата продукция.

Разходното пространство е m-измерно. Всяка точка в пространството на разходите X = (x 1, ..., x m) съответства на единична максимална продукция (вижте Фиг. 2.1), произведена с помощта на тези разходи. Тази връзка се нарича производствена функция. Производствената функция обаче обикновено се разбира по-малко ограничително и всяко функционално съотношение между вложения и продукция се счита за производствена функция. По-нататък ще приемем, че производствената функция има необходимите производни. Приема се, че производствената функция f(X) удовлетворява две аксиоми. Първото от тях гласи, че има подмножество от пространство на разходите, наречено икономическа зона E, при което увеличаването на който и да е вид вход не води до намаляване на продукцията. Така, ако X 1, X 2 са две точки от тази област, тогава X 1  X 2 предполага f(X 1)  f(X 2). В диференциална форма това се изразява във факта, че в тази област всички първи частни производни на функцията са неотрицателни: f/x 1 ≥ 0 (за всяка нарастваща функция производната е по-голяма от нула). Тези производни се наричат маргинални продукти, и векторът f/X = (f/x 1 , …, f/x m) – вектор на пределните продукти (показва колко пъти ще се промени продукцията при промяна на разходите).

Втората аксиома гласи, че има изпъкнало подмножество S на икономическата област, за което подмножествата (XS:f(X)  a) са изпъкнали за всички a  0. В това подмножество S, матрицата на Хесен, съставена от втори производни на функцията f(X) , е отрицателно определена, следователно,  2 f/x 2 i

Нека се спрем на икономическото съдържание на тези аксиоми. Първата аксиома гласи, че производствената функция не е някаква напълно абстрактна функция, измислена от математически теоретик. То, макар и не в цялата си област на дефиниране, а само в част от нея, отразява едно икономически важно, безспорно и същевременно тривиално твърдение: VВ една разумна икономика увеличаването на разходите не може да доведе до намаляване на продукцията.От втората аксиома ще обясним само икономическия смисъл на изискването производната  2 f/x 2 i да е по-малка от нула за всеки вид разход. Това свойство се нарича в икономиката заЗаконът за намаляващата възвръщаемост или намаляващата възвръщаемост: тъй като разходите нарастват, започвайки от определен момент (при влизане в региона S!), отпределният продукт започва да намалява.Класическият пример за този закон е добавянето на все повече и повече труд към производството на зърно върху фиксирано парче земя. По-нататък се приема, че производствената функция се разглежда в област S, в която и двете аксиоми са валидни.

Можете да създадете производствена функция за дадено предприятие, без дори да знаете нищо за нея. Просто трябва да инсталирате брояч (човек или някакво автоматично устройство) на портата на предприятието, което ще записва X - внесените ресурси и Y - количеството продукти, които предприятието е произвело. Ако натрупате достатъчно количество такава статична информация и вземете предвид работата на предприятието в различни режими, тогава можете да предвидите продукцията, като знаете само обема на внесените ресурси, а това е познаване на производствената функция.

2.4. Производствена функция на Коб-Дъглас

Нека разгледаме една от най-често срещаните производствени функции - функцията на Коб-Дъглас: Y = AK  L  , където A, ,  > 0 са константи,  + 

Y/K = AαK α -1 L β > 0, Y/L = AβK α L β -1 > 0.

Отрицателност на вторите частични производни, т.е. намаляващи гранични продукти: Y 2 /K 2 = Aα(α–1)K α -2 L β 0.

Нека да преминем към основните икономико-математически характеристики на производствената функция на Коб-Дъглас. Средна производителност на трудасе определя като y = Y/L – съотношението на обема на произведения продукт към количеството вложен труд; средна капиталова производителност k = Y/K – съотношение на обема на произведения продукт към стойността на средствата.

За функцията на Коб-Дъглас средната производителност на труда y = AK  L  , като поради условие  с увеличаване на разходите за труд средната производителност на труда намалява. Този извод позволява естествено обяснение - тъй като стойността на втория фактор K остава непроменена, това означава, че новопривлечената работна сила не е обезпечена с допълнителни средства за производство, което води до намаляване на производителността на труда (това важи и при най-общия случай - на ниво производствени комплекти).

Пределна производителност на труда Y/L = AβK α L β -1 > 0, което показва, че за функцията на Коб-Дъглас пределната производителност на труда е пропорционална на средната производителност и е по-малка от нея. Средната и пределната производителност на капитала се определят аналогично. За тях е вярна и следната връзка: пределната капиталова производителност е пропорционална на средната капиталова производителност и е по-малка от нея.

Важна е следната характеристика: съотношение капитал-труд f = K/L, показващ обема на средствата на служител (на единица труд).

Нека сега намерим трудовата еластичност на производството:

(Y/L):(Y/L) = (Y/L)L/Y = AβK α L β -1 L/(AK α L β) = β.

Така че смисълът е ясен параметър - Това еластичност (отношение на пределната производителност на труда към средната производителност на труда) на продукцията по труд. Трудовата еластичност на производството означава, че за увеличаване на продукцията с 1% е необходимо обемът на трудовите ресурси да се увеличи с %. Има подобно значение параметър – е еластичността на производството между фондовете.

И още едно значение изглежда интересно. Нека  +  = 1. Лесно е да се провери, че Y = (Y/K)/K + (Y/L)L (замествайки предварително изчислените Y/K, Y/L в тази формула). Да приемем, че обществото се състои само от работници и предприемачи. Тогава доходът Y се разделя на две части - доходът на работниците и доходът на предприемачите. Тъй като при оптимален размер на фирмата стойността Y/L - пределният продукт на труда - съвпада с заплати(това може да се докаже), тогава (Y/L)L представлява дохода на работниците. По същия начин стойността Y/K е пределната възвръщаемост на капитала, чийто икономически смисъл е нормата на печалбата, следователно (Y/K)K представлява дохода на предприемачите.

Функцията на Коб-Дъглас е най-известната сред всички производствени функции. На практика при построяването му понякога се отменят някои изисквания (например сумата  +  може да бъде по-голяма от 1 и т.н.).

Пример 1.Нека производствената функция е функцията на Коб-Дъглас. За да се увеличи продукцията с a = 3%, е необходимо да се увеличат дълготрайните активи с b = 6% или броят на служителите с c = 9%. В момента един работник произвежда продукти на стойност M = 10 4 рубли на месец . , а общият брой на служителите е L = 1000. Дълготрайните активи се оценяват на K = 10 8 рубли. Намерете производствената функция.

Решение. Нека намерим коефициентите , :  = a/b = 3/6 = 1/2,  = a/c = = 3/9 = 1/3, следователно Y = AK 1/2 L 1/3. За да намерим A, заместваме стойностите K, L, M в тази формула, като имаме предвид, че Y = ML = 1000 . 10 4 = 10 7 – – 10 7 = A(10 8) 1/2 1000 1/3. Следователно A = 100. Така производствената функция има формата: Y = 100K 1/2 L 1/3.

2.5. Теория на фирмата

В предишния раздел, когато анализирахме и моделирахме поведението на производителя, използвахме само естествени показатели и направихме без цени, но не можахме окончателно да разрешим проблема на производителя, т.е. да посочим единствения курс на действие за него в текущия условия. Сега нека разгледаме цените. Нека P е ценови вектор. Ако T = (X,Y) е технология, т.е. входно-изходен вектор, X са разходи, Y е изход, тогава скаларният продукт PT = PX + PY е печалбата от използването на технология T (разходите са отрицателни количества) . Сега нека формулираме математическа формализация на аксиомата, която описва поведението на производителя.

Проблем на производителя: Производителят избира технология от производствения си комплект, като цели да увеличи максимално печалбите . И така, производителят решава следния проблем: PT→max, Tτ. Тази аксиома значително опростява ситуацията на избор. Така че, ако цените са положителни, което е естествено, тогава компонентът „изход“ на решението на този проблем автоматично ще лежи върху кривата на производствените възможности. Наистина, нека T = (X,Y) е някакво решение на проблема на производителя. Тогава съществува ZK x , Z  Y, следователно P(X, Z)  P(X, Y), което означава, че точка (X, Z) също е решение на проблема на производителя.

За случая на два вида продукти задачата може да се реши графично (фиг. 2.3). За да направите това, трябва да „преместите“ права линия, перпендикулярна на вектора P в посоката, в която сочи; тогава последната точка, когато тази права все още пресича производствения набор, ще бъде решението (на фиг. 2.3 това е точка T). Както е лесно да се види, строгата изпъкналост на необходимата част от производствения комплект във втория квадрант гарантира уникалността на решението. Същото разсъждение важи и в общия случай за по-голям брой видове входове и изходи. Ние обаче няма да следваме този път, а ще използваме апарата на производствените функции и ще наречем производителя фирма. Така че продукцията на фирмата може да се характеризира с една стойност - или обемът на продукцията, ако се произвежда един продукт, или общата стойност на цялата продукция. Пространството на разходите е m-измерно, векторът на разходите X = (x 1, ..., x m). Разходите еднозначно определят продукцията Y и тази връзка е производствената функция Y = f(X).

ориз. 2.3. Решаване на проблема на производителя

В тази ситуация нека означим с P вектора на цените на стоките-разходи и нека v е цената на единица произведена стока. Следователно печалбата W, която в крайна сметка е функция на X (и цените, но те се считат за постоянни), е W(X) = vf(X) – PX→max, X  0. Приравняването на частните производни на функцията W до нула, получаваме:

v(f/x j) = p j за j = 1, …, m или v(f/X) = P (2.1)

Ще приемем, че всички разходи са строго положителни (нулата може просто да бъде изключена от разглеждане). Тогава точката, дадена от съотношението (2.1), се оказва вътрешна, т.е. точка на екстремум. И тъй като се приема, че матрицата на Хесиан на производствената функция f(X) също е отрицателно дефинирана (въз основа на изискванията за производствените функции), това е максималната точка.

И така, при естествени предположения за производствените функции (тези предположения са изпълнени за производител със здрав разум и в разумна икономика), връзката (2.1) дава решение на проблема на фирмата, т.е. определя обема X * на обработените ресурси, което води до изход Y * = f(X *) Точка X *, или (X *,f(X *)) ще се нарича оптимално решение на компанията. Нека се спрем на икономическия смисъл на отношението (2.1). Както е посочено, (f/X) = (f/x 1 ,…,f/x m) се нарича вектор на пределния продукт или вектор на пределните продукти, а f/x i се нарича i-ти пределен продукт, или пуснете отговор за промянааз -та позиция разходи. Следователно vf/x i dx i е ценааз -ти пределен продукт, допълнително получен от dx i единициаз ти ресурс. Но цената на dx i единици от i-тия ресурс е равна на р i dx i , т.е. получено е равновесие: възможно е да се включат допълнителни dx i единици от i-тия ресурс в производството, изразходвайки р i dx i при закупуването му, но няма да има печалба, т . Съответно оптималната точка, дадена от съотношението (2.1), е точка на равновесие - вече не е възможно да се изцеди повече от блага-ресурси, отколкото е изразходвано за закупуването им.

Очевидно увеличаването на производството на фирмата става постепенно: първоначално цената на пределните продукти е по-малка от покупната цена на стоките и ресурсите, необходими за тяхното производство. Обемите на производство нарастват, докато не започне да се изпълнява съотношението (2.1): равенство на стойността на пределните продукти и покупната цена на стоките и ресурсите, необходими за тяхното производство.

Да приемем, че в проблема на фирмата W(X) = vf(X) – PX → max, X  0, решението X * е уникално за v > 0 и P > 0. Така получаваме векторната функция X * = X * ( v, P) или функции x * I = x * i (v, p 1 , p m) за i = 1, …, m. Тези m функции се наричат функции на търсенето на ресурсипо дадени цени за продукти и ресурси. По същество тези функции означават, че ако са установени цените P за ресурсите и цената v за произведените стоки, даден производител (характеризиран с дадена производствена функция) определя обема на обработените ресурси, използвайки функциите x * I = x * i (v, p 1, p m) и иска тези обеми на пазара. Познавайки обемите на преработените ресурси и замествайки ги в производствената функция, получаваме продукция като функция на цените; нека означим тази функция с q * = q * (v,P) = f(X(v,P)) = Y * . Нарича се функция за доставка на продуктив зависимост от цената v за продуктите и цените P за ресурсите.

По дефиниция, i-ти тип ресурснаречен с малка стойност, ако и само ако,x * i /v т.е., когато цената на даден продукт се увеличи, търсенето на ресурс с ниска стойност намалява. Възможно е да се докаже важна връзка: q * /P = -X * /v или q * /p i = -x * i /v, за i = 1, …, m. Следователно, увеличаването на цената на даден продукт води до увеличаване (намаляване) на търсенето на определен вид ресурс тогава и само ако увеличението на плащането за този ресурс води до намаляване (увеличение) на оптималното производство. Това показва основното свойство на ресурсите с ниска стойност: увеличаването на заплащането за тях води до увеличаване на продукцията! Въпреки това е възможно строго да се докаже съществуването на такива ресурси, чието увеличение на плащането води до намаляване на продукцията (т.е. всички ресурси не могат да бъдат с ниска стойност).

Възможно е също така да се докаже, че x * i /p i са допълващи се, ако x * i /p j са взаимозаменяеми, ако x * i /p j > 0. Тоест, за допълнителни ресурси, увеличение на цената на един от тях води до спад в търсенето на друг, а за взаимозаменяемите ресурси повишаването на цената на един от тях води до увеличаване на търсенето на другия. Примери за допълнителни ресурси: компютър и неговите компоненти, мебели и дърво, шампоан и балсам за него. Примери за взаимозаменяеми ресурси: захар и заместители на захарта (например сорбитол), дини и пъпеши, майонеза и заквасена сметана, масло и маргарин и др.

Пример 2.За компания с производствена функция Y = 100K 1/2 L 1/3 (от пример 1), намерете оптималния размер, ако периодът на амортизация на дълготрайните активи е N = 12 месеца, заплатата на служителя на месец е a = 1000 рубли .

Решение. Оптималният размер на продукцията или производствения обем се намира от съотношението (2.1). В този случай продукцията се измерва в парично изражение, така че v = 1. Цената на месечната поддръжка на една рубла средства е 1/N, т.е. получаваме система от уравнения

, решавайки което намираме отговора:
, L = 8 . 10 3, K = 144. 10 6.

2.6. Задачи

1. Нека производствената функция е функцията на Коб-Дъглас. За да се увеличи производството с 1%, е необходимо да се увеличат дълготрайните активи с b = 4% или броят на служителите с c = 3%. В момента един работник произвежда продукти на стойност M = 10 5 рубли на месец . , а общият брой на работниците е L = 10 4 . Дълготрайните активи се оценяват на K = 10 6 рубли. Намерете производствената функция, средната капиталопроизводителност, средната производителност на труда, капиталоемкостта.

2. Група „совалки“ в размер на E реши да се обедини с N продавачи. Печалбата от един работен ден (приходи минус разходи, но не заплати) се изразява по формулата Y = 600(EN) 1/3. Заплатата на работника на совалката е 120 рубли. на ден, продавач - 80 рубли. на ден. Намерете оптималния състав на групата от „совалки“ и продавачи, т.е. колко „совалки“ трябва да има и колко продавачи.

3. Бизнесмен решава да основе малка компания за превоз на камиони. След като се запозна със статистиката, той видя, че приблизителната зависимост на дневните приходи от броя на колите A и броя N се изразява по формулата Y = 900A 1/2 N 1/4. Амортизация и други ежедневни разходиза една кола е 400 рубли, дневната заплата на работник е 100 рубли. Намерете оптималния брой работници и превозни средства.

4. Бизнесменът решил да отвори бирен бар. Да приемем, че зависимостта на приходите Y (минус разходите за бира и закуски) от броя на масите M и броя на сервитьорите F се изразява по формулата Y = 200M 2/3 F 1/4. Цената на една маса е 50 рубли, заплатата на сервитьора е 100 рубли. Намерете оптималния размер на бара, т.е. броя на сервитьорите и масите.

PF изокванти и изоклини

Ако отново се обърнем към метода на аналогията, тогава, както в случая с модела на поведение на потребителите, в теорията за моделиране на производствените процеси можем да подчертаем концепцията за кривата на безразличие на производителя. Тази концепция може да съответства на много набори от производствени фактори, които съответстват на едно и също количество произведен продукт, тоест:

Множеството от точки, удовлетворяващи равенството (4.1), се нарича изокванта PF ( ISO- постоянен, количество- количество). Всяка изокванта съответства на различно ниво на производство на продукта ( г ), а изоквантите, по-отдалечени от нулевата точка (точки на бездействие), съответстват на по-високи стойности г . Изоквантите също имат същите свойства като кривите на безразличие (успоредни една на друга, не се пресичат с абсцисната и ординатната ос и т.н.) За двуфакторен PF, изоквантата по същество ще изрази функционалната зависимост на капиталовите разходи от разходите за труд при дадено ниво на произведен продукт:

Производителят, променяйки технологиите, може да избере различни комбинации от производствени фактори и да поддържа постоянно ниво на производство. Според изоквантата увеличението на един фактор ще доведе до намаляване на друг. Следователно трябва да има характеристика, която позволява да се оцени компенсацията на един фактор от друг. Тази характеристика е пределна норма на заместване(подобно на същата характеристика в теорията за потребителската полезност):

, (4.2)

което показва колко увеличение на коефициента й ще компенсира намаляването на фактора аз на единица, така че нивото на производство на продукта да остане същото (факторно заместване аз фактор й ).

Съответно обратното заместване (на фактор j с фактор i) ще се характеризира с реципрочната стойност: .

Според връзката между коефициента на еластичност и пределния продукт (4.1), пределната норма на заместване може да се изрази като:

(4.3)

Съгласно (4.1) за двуфакторен PF имаме:

- максималната норма на заместване на капитала с труд;

- максималната норма на заместване на труда с капитал.

Съгласно (4.3), за двуфакторен модел пределната норма на заместване може също да бъде изразена чрез коефициенти на еластичност:

, Къде до – капиталоемкост.

Наред с изоквантите, важна роля в PF играят изоклини – набори от точки в икономическата област, за които пределната норма на заместване аз -ти фактор й -m е константа:

Използвайки концепцията за изоклина (изоклина), можете да трансформирате произволен набор от фактори (L,K) включени в комплекта (Y,MRS) , тоест решаване на системата от уравнения:

ще бъде:

Хомогенен ПФ с постоянна пределна норма на заместване на труда с капитал и степен на хомогенност δ=1 принадлежи към класа на линейните функции, т.е .

По този начин, за двуфакторен PF, всяка точка от изоквантата се характеризира с разходите за капитал и труд или пределната норма на заместване на труда с капитал Г-ЖА Л.К и съотношението капитал-труд к . Ако се обърнем към геометричното представяне, тогава Г-ЖА Л.К е равен на ъгловия коефициент на допирателната към дадена точка на изокванта, а стойността на k е ъгловият коефициент на лъча, излизащ от началото и преминаващ през дадена точка на изокванта (виж. ориз. 4.2).

Фиг. 4.2

Например в точката IN стойността на разходите за труд е по-голяма, отколкото в точката А , следователно стойността Г-ЖА Л.К в точката IN по-малко от точката А . Съответно точка IN ще съответства на по-ниско съотношение капитал-труд, отколкото в точката А .

Така става очевидна връзката между изменението на съотношението капитал-труд и пределната норма на заместване на капитала с труд, тоест отново стигаме до понятието еластичност, а именно еластичността на заместването на труда с капитал, което показва с какъв процент ще се промени съотношението капитал-труд, когато пределната норма на заместване на труда с капитал се промени с един процент:

(4.4)

Може също да се покаже графично, че с увеличаване на кривината на изоквантата еластичността Eσ намалява (вж ориз. 4.3).

Фиг. 4.3

Имайте предвид, че и в двата случая в точки А и IN ценности Г-ЖА Л.К остават същите, а стойността на съотношението капитал-труд в точката А по-висока от точката IN . Това предполага друго важно свойство: за хомогенен PF, еластичността на заместването на труда с капитал зависи само от съотношението капитал-труд и остава постоянна по лъчите, излизащи от нулевата точка.

Нека изразим връзката между Г-ЖА Л.К и к с постоянна еластичност Eσ . Съгласно (4.4) имаме:

(4.5)

Приемане на зависимост MRS LK(k) , можем да запишем (4.5) под формата на обикновено диференциално уравнение:

(4.6)

Интегрирането (4.6) дава:

или след преобразуване:

, Къде

Следователно условието за постоянство на еластичността на заместване на труда с капитал дава степенна връзка между количествата Г-ЖА Л.К и к . Съответно случаят на единична еластичност ще съответства на линейна зависимост между посочените величини:

Въвеждането на концепцията за постоянна еластичност на заместването доведе до общата форма на хомогенен PF, за който еластичността на факторното заместване е постоянна. Такива PF се наричат ​​PF CES клас (Постоянна еластичност на заместването). Функциите от този клас бяха предложени за първи път Стрела от Кенет и Солоу от Робърт през 1961 г. Функциите на този клас предполагат, че замяната на труда с капитал е възможна само в определени граници и не съществуват технологии, които биха позволили производството на дадено количество продукт при разходи на производствени фактори под определени критични стойности. (Геометрично това означава, че е възможно да се конструират асимптоти на изоквантата и те ще съответстват на минималните възможни стойности на труда и капитала. Възможно е да се изведат математически зависимости за асимптотите; ние няма да представяме този материал в тази презентация.)

Много PF са по същество специални или ограничаващи случаи на CES функции, основните характеристики на които са дадени в Таблица 4.1.

Таблица 4.1

Понятие за производствена система и производствен процес. Технологичен процес и технологичен комплект

Основната задача на всеки производствен процес е да създаде добавена стойност и нов икономически продукт, който след това да участва в последващи процеси на размяна и потребление. Известно е, че производственият процес е условие за възникване на процесите на потребление от една страна, а от друга, спирането на потреблението води до спиране на производствения процес. Следователно развитието на производствените процеси се определя от икономическото поведение на потребителя. Тази връзка може да бъде представена под формата на следния концептуален модел за функциониране на един икономически субект:

Централната връзка е моделът на производствения процес, който свързва входните променливи на производствената система с изходните променливи; моделът на ресурсния пазар е необходимо условие за функциониране на производствения процес; моделът на пазара на стоки е необходимо условие за съществуването и възобновяването на производствения процес; модел за вземане на решения - изборът на най-доброто, в определен смисъл, решение на производителя на стоки относно обемите на продукцията въз основа на информация за пазарните условия и производствените възможности.

Съвременните идеи в областта на моделирането на производствените процеси се основават на теории икономисти -неокласически , който предлага модел на „икономическия” човек, чието икономическо поведение се определя от функцията на полезността.

по този начин производствен процес е процес на създаване на добавена стойност чрез целенасочена трансформация на един набор от стоки в друг. Икономическата система, в която е организиран и протича производственият процес се нарича производствена система или производство. Целта на всяка производствена система е желаното конкретно крайно бъдещо състояние или резултат от икономическата дейност. От гледна точка на неокласическата икономическа теория, целите на производителя са да максимизира приходите или печалбата или да минимизира разходите. Стоките, консумирани по време на производствения процес, се наричат производствени фактори, стоки, получени в резултат на производствения процес – производствени продукти.

От тази гледна точка всяка производствена система със сложна вътрешна структура е „черна кутия“, докато информацията за производствените фактори (входяща информация) и производствения продукт (резултат) е известна, а неизвестната вътрешна структура се описва с помощта на някакво производство функция. Трябва да се помни, че моделът на „черната кутия“ е полезен за икономист, но е безполезен за мениджър, който реформира организационната структура и процесите в системата.

В допълнение към концепцията за производствени функции, концепции като концепцията за еластичност на производствените фактори и пределната норма на заместване на производствените фактори са важни за моделирането на производствените процеси, тъй като ресурсите в производствената система могат да действат като стоки заместители. Освен това в реалния производствен процес е невъзможно да се произведе продукт при пълно отсъствие на какъвто и да е производствен фактор, т.е. можем да говорим за взаимно допълване на производствените фактори, т.е. взаимно допълване.

технология- е технически начин за превръщане на производствените фактори в продукти. Има огромен брой налични технологии, от които производителите избират най-ефективните. Технологията определя връзката между даден елемент u от производствените фактори и елемент v от продуктовата зона. Процес е набор от връзки между елементи u i и v j (), следователно това е най-простият модел на производствения процес. От своя страна се формира набор от технологични процеси технологичен комплект . Технологичните комплекти имат следните свойства:

1. невъзможността за съществуване на „рог на изобилието“, т.е. нулев технологичен процес (без разходите за производствени фактори) принадлежи към технологичния набор и означава бездействие;

2. технологичният набор е изпъкнал, т.е. технологичните процеси могат да се комбинират (някой технологичен процес може да бъде изпъкнала комбинация от други);

3. технологичният набор е ограничен отгоре, което е свързано с ограничените (изчерпаеми) ресурси (фактори на производство);

4. технологичната съвкупност е затворена, т.е. има граници.

Ефективентехнологичните процеси се описват от точки, лежащи на ефективната граница на изпъкнал технологичен набор.

Методът на технологичните комплекти дава възможност да се опише производството на много позиции, тъй като е възможен строг преход от технологични комплекти към производствени функции чрез агрегиране на производствени фактори и продукти.

В заключение отбелязваме, че има два алтернативни подхода за решаване на проблема с оптималния контрол на производствените процеси. Първият подход разглежда проблема за максимизиране на производството на продукт при фиксирани бюджетни ограничения. Решението на този проблем се основава на анализа на производствената функция на производствената система, като се вземат предвид пазарната стойност на труда и капитала и размера на производствения бюджет. Вторият подход решава проблема за минимизиране на производствените разходи при дадено ниво на производство на продукта. Този проблем се решава с помощта на функция на разходите, която може да се изчисли от съществуваща производствена функция. Тези два подхода водят до един и същ резултат при решаване на оптимизационни задачи. ( Помнете двойствеността!).