- Atkarpa, jungianti trapecijos įstrižainių vidurio taškus, yra lygi pusei pagrindų skirtumo
- Trikampiai, sudaryti iš trapecijos pagrindų ir įstrižainių atkarpų iki jų susikirtimo taško, yra panašūs
- Trikampiai, sudaryti iš trapecijos įstrižainių atkarpų, kurių kraštinės yra šoninėse trapecijos pusėse, yra vienodo dydžio (turi vienodą plotą)
- Jei pratęsite trapecijos kraštus link mažesnio pagrindo, tada jie viename taške susikirs su tiesia linija, jungiančia pagrindų vidurio taškus.
- Atkarpa, jungianti trapecijos pagrindus ir einanti per trapecijos įstrižainių susikirtimo tašką, padalinta iš šio taško proporcingai, lygia trapecijos pagrindų ilgių santykiui
- Atkarpa, lygiagreti trapecijos pagrindams ir nubrėžta per įstrižainių susikirtimo tašką, padalinta iš šio taško pusiau, o jos ilgis lygus 2ab/(a + b), kur a ir b yra trapecijos pagrindai. trapecijos formos
Atkarpos, jungiančios trapecijos įstrižainių vidurio taškus, savybės
Sujungkime trapecijos ABCD įstrižainių vidurio taškus, dėl to turėsime atkarpą LM.
Atkarpa, jungianti trapecijos įstrižainių vidurio taškus guli ant trapecijos vidurio linijos.
Šis segmentas lygiagrečiai trapecijos pagrindams.
Atkarpos, jungiančios trapecijos įstrižainių vidurio taškus, ilgis lygus pusei jos pagrindų skirtumo.
LM = (AD – BC)/2
arba
LM = (a-b)/2
Trikampių, sudarytų iš trapecijos įstrižainių, savybės
Trikampiai, sudaryti iš trapecijos pagrindų ir trapecijos įstrižainių susikirtimo taško - yra panašūs.
Trikampiai BOC ir AOD yra panašūs. Kadangi kampai BOC ir AOD yra vertikalūs, jie yra lygūs.
Kampai OCB ir OAD yra vidiniai kampai, esantys skersai su lygiagrečiomis tiesėmis AD ir BC (trapecijos pagrindai yra lygiagrečios vienas kitam) ir skersine linija AC, todėl jie yra lygūs.
Kampai OBC ir ODA yra vienodi dėl tos pačios priežasties (vidinis skersai).
Kadangi visi trys vieno trikampio kampai yra lygūs atitinkamiems kito trikampio kampams, tai šie trikampiai yra panašūs.
Kas iš to seka?
Norint išspręsti geometrijos uždavinius, trikampių panašumas naudojamas taip. Jei žinome dviejų atitinkamų panašių trikampių elementų ilgius, tada randame panašumo koeficientą (vieną dalijame iš kito). Iš kur visų kitų elementų ilgiai yra susieti vienas su kitu lygiai ta pačia reikšme.
Trapecijos šoninėje pusėje gulinčių trikampių ir įstrižainių savybės
Apsvarstykite du trikampius, esančius šoninėse trapecijos AB ir CD kraštinėse. Tai trikampiai AOB ir COD. Nepaisant to, kad atskirų šių trikampių kraštinių dydžiai gali būti visiškai skirtingi, tačiau trikampių, sudarytų iš šoninių kraštinių ir trapecijos įstrižainių susikirtimo taško, plotai yra lygūs, tai yra, trikampiai yra vienodo dydžio.
Jei pratęsime trapecijos kraštines link mažesnio pagrindo, tai kraštinių susikirtimo taškas bus sutampa su tiesia linija, kuri eina per pagrindų vidurį.
Taigi bet kurią trapeciją galima išplėsti į trikampį. Šiuo atveju:
- Trikampiai, sudaryti iš trapecijos pagrindų, turinčių bendrą viršūnę išplėstinių kraštinių susikirtimo taške, yra panašūs
- Tiesi linija, jungianti trapecijos pagrindų vidurio taškus, tuo pat metu yra sudaryto trikampio mediana
Atkarpos, jungiančios trapecijos pagrindus, savybės
Jei nubrėžiate atkarpą, kurios galai yra ant trapecijos pagrindų, kurie yra trapecijos (KN) įstrižainių susikirtimo taške, tada jį sudarančių atkarpų nuo pagrindo šono iki susikirtimo taško santykis. įstrižainės (KO/ON) bus lygus trapecijos pagrindų santykiui(BC / AD).
KO/ON = BC/AD
Ši savybė išplaukia iš atitinkamų trikampių panašumo (žr. aukščiau).
Atkarpos, lygiagrečios trapecijos pagrindams, savybės
Jei nubrėžsime atkarpą, lygiagrečią trapecijos pagrindams ir einančią per trapecijos įstrižainių susikirtimo tašką, tada jis turės šias savybes:
- Nurodytas atstumas (KM) padalintas į pusę trapecijos įstrižainių susikirtimo taško
- Skyriaus ilgis einantis per trapecijos įstrižainių susikirtimo tašką ir lygiagretus pagrindams yra lygus KM = 2ab/(a + b)
Trapecijos įstrižainių radimo formulės
a, b- trapecijos formos pagrindai
c, d- trapecijos šonai
d1 d2- trapecijos įstrižainės
α β - kampai su didesniu trapecijos pagrindu
Formulės trapecijos įstrižainėms rasti per pagrindą, šonus ir kampus prie pagrindo
Pirmoji formulių grupė (1-3) atspindi vieną iš pagrindinių trapecijos įstrižainių savybių:
1. Trapecijos įstrižainių kvadratų suma lygi kraštinių kvadratų sumai plius du kartus jos pagrindų sandaugai. Šią trapecijos įstrižainių savybę galima įrodyti kaip atskirą teoremą
2 . Ši formulė gaunama transformuojant ankstesnę formulę. Antrosios įstrižainės kvadratas metamas per lygybės ženklą, po kurio kvadratinė šaknis ištraukiama iš kairės ir dešinės išraiškos pusių.
3 . Ši trapecijos įstrižainės ilgio nustatymo formulė yra panaši į ankstesnę, su skirtumu, kad kairėje išraiškos pusėje paliekama kita įstrižainė
Kita formulių grupė (4-5) yra panašios reikšmės ir išreiškia panašų ryšį.
Formulių grupė (6-7) leidžia rasti trapecijos įstrižainę, jei žinomas didesnis trapecijos pagrindas, viena kraštinė ir kampas prie pagrindo.
Formulės trapecijos įstrižainėms per aukštį rasti
Užduotis.
Trapecijos ABCD (AD | | BC) įstrižainės susikerta taške O. Raskite trapecijos pagrindo BC ilgį, jei pagrindas AD = 24 cm, ilgis AO = 9 cm, ilgis OS = 6 cm.
Sprendimas.
Šios problemos sprendimas ideologiškai yra visiškai identiškas ankstesnėms problemoms.
Trikampiai AOD ir BOC yra panašūs trimis kampais - AOD ir BOC yra vertikalūs, o likę kampai poromis lygūs, nes susidaro susikirtus vienai tiesei ir dviem lygiagrečioms tiesėms.
Kadangi trikampiai yra panašūs, visi jų geometriniai matmenys yra susiję vienas su kitu, kaip ir mums žinomi atkarpų AO ir OC geometriniai matmenys pagal uždavinio sąlygas. Tai yra
AO/OC = AD/BC
9/6 = 24/BC
BC = 24 * 6 / 9 = 16
Atsakymas: 16 cm
Užduotis.
Trapecijoje ABCD žinoma, kad AD=24, BC=8, AC=13, BD=5√17. Raskite trapecijos plotą. 
Sprendimas.
Norėdami rasti trapecijos aukštį iš mažesnio pagrindo B ir C viršūnių, du aukščius sumažiname į didesnį pagrindą. Kadangi trapecija nelygi, žymime ilgį AM = a, ilgį KD = b ( nesupainioti su užrašu formulėje rasti trapecijos plotą). Kadangi trapecijos pagrindai yra lygiagretūs, o mes numetėme du aukščius statmenai didesniam pagrindui, tada MBCK yra stačiakampis.
Reiškia
AD = AM+BC+KD
a + 8 + b = 24
a = 16 - b
Trikampiai DBM ir ACK yra stačiakampiai, todėl jų stačius kampus sudaro trapecijos aukščiai. Trapecijos aukštį pažymėkime h. Tada pagal Pitagoro teoremą
H 2 + (24 - a) 2 = (5√17) 2
Ir
h 2 + (24 - b) 2 = 13 2
Atsižvelkime į tai, kad a = 16 - b, tada pirmoje lygtyje
h 2 + (24 - 16 + b) 2 = 425
h 2 = 425 - (8 + b) 2
Pakeiskime aukščio kvadrato reikšmę antrąja lygtimi, gauta naudojant Pitagoro teoremą. Mes gauname:
425 – (8 + b) 2 + (24 – b) 2 = 169
-(64 + 16b + b) 2 + (24 - b) 2 = -256
-64 - 16b - b 2 + 576 - 48b + b 2 = -256
-64b = -768
b = 12
Taigi KD = 12
Kur
h 2 = 425 - (8 + b) 2 = 425 - (8 + 12) 2 = 25
h = 5
Raskite trapecijos plotą per jos aukštį ir pusę pagrindų sumos
, kur a b – trapecijos pagrindas, h – trapecijos aukštis
S = (24 + 8) * 5/2 = 80 cm2
Atsakymas: trapecijos plotas 80 cm2.
Jei lygiašonės trapecijos įstrižainės yra statmenos, sprendžiant uždavinį pravers toliau pateikta teorinė medžiaga.
1. Jei lygiašonės trapecijos įstrižainės yra statmenos, trapecijos aukštis lygus pusei bazių sumos.
Per tašką C nubrėžkime tiesę CF, lygiagrečią BD, ir pratęskime tiesę AD, kol ji susikirs su CF.
Keturkampis BCFD yra lygiagretainis (BC∥ DF kaip trapecijos pagrindas, BD∥ CF pagal konstrukciją). Taigi CF=BD, DF=BC ir AF=AD+BC.
Trikampis ACF yra stačiakampis (jei tiesė yra statmena vienai iš dviejų lygiagrečių tiesių, tai ji taip pat yra statmena kitai tiesei). Kadangi lygiašonės trapecijos įstrižainės yra lygios ir CF=BD, tai CF=AC, tai yra, trikampis ACF yra lygiašonis su pagrindu AF. Tai reiškia, kad jo aukštis CN taip pat yra mediana. O kadangi stačiojo trikampio, nubrėžto į hipotenuzę, mediana yra lygi jos pusei, tada
kas yra bendras vaizdas gali būti parašytas kaip
kur h yra trapecijos aukštis, a ir b yra jos pagrindai.
2. Jeigu lygiašonės trapecijos įstrižainės yra statmenos, tai jos aukštis lygus vidurio linijai.
Kadangi trapecijos vidurio linija m lygi pusei bazių sumos, tada
3. Jei lygiašonės trapecijos įstrižainės yra statmenos, tada trapecijos plotas lygus trapecijos aukščio kvadratui (arba pusės pagrindų sumos kvadratui, arba vidurio linijos kvadratui) .
Kadangi trapecijos plotas randamas pagal formulę
o lygiašonės trapecijos su statmenomis įstrižainėmis aukštis, pusė pagrindų sumos ir vidurio linija yra lygūs vienas kitam:
4. Jei lygiašonės trapecijos įstrižainės yra statmenos, tai jos įstrižainės kvadratas yra lygus pusei pagrindų sumos kvadrato, taip pat dvigubai aukščio kvadratui ir du kartus vidurio linijos kvadratui.
Kadangi išgaubto keturkampio plotą galima rasti per jo įstrižaines ir kampą tarp jų naudojant formulę
Vėlgi Pitagoro trikampis :))) Jei didelės įstrižainės dalis nuo didelio pagrindo iki susikirtimo taško yra pažymėta x, tai iš akivaizdaus stačiųjų trikampių su lygiais kampais panašumo išplaukia.x/64 = 36/x, vadinasi, x = 48;48/64 = 3/ 4, todėl VISI stačiakampiai trikampiai, sudaryti iš pagrindų, įstrižainių ir pamatui statmenos kraštinės, yra panašūs į trikampį, kurio kraštinės yra 3,4,5. Vienintelė išimtis yra trikampis, sudarytas iš įstrižainių gabalėlių ir įstrižos kraštinės, bet mums tai neįdomu :). (Kad būtų aišku, aptariamas panašumas yra tik SKITAIP VARDAMŲ kampų trigonometrinės funkcijos:) Mes jau žinome kampo tarp didžiosios įstrižainės ir pagrindinio pagrindo liestinę, ji yra lygi 3/4, o tai reiškia, kad sinusas yra lygus 3/5, o kosinusas yra 4 /5:)) Rašyti galima iš karto
Atsakymai. Apatinis pagrindas yra 80, trapecijos aukštis bus 60, o viršutinis - 45. (36*5/4 = 45, 64*5/4 = 80, 100*3/5 = 60)
Panašios užduotys:
1. Prizmės pagrindas yra trikampis, kurio viena kraštinė yra 2 cm, o kitos dvi – 3 cm Šoninė briauna yra 4 cm ir sudaro 45 kampą su pagrindo plokštuma lygaus kubo.
2. Pasvirosios prizmės pagrindas yra lygiakraštis trikampis, kurio kraštinė a; vienas iš šoninių paviršių yra statmenas pagrindo plokštumai ir yra rombas, kurio mažesnė įstrižainė lygi c. Raskite prizmės tūrį.
3. Pasvirusioje prizmėje pagrindas yra stačiakampis, kurio hipotenuzė lygi c, vienas smailiasis kampas lygus k ir sudaro 60 kampą su pagrindo plokštuma prizmės tūris.
1. Raskite kvadrato kraštinę, jei jos įstrižainė yra 10 cm
2. Lygiašonės trapecijos bukas kampas 135 laipsniai, pagrindas 4 cm, aukštis 2 cm, rasti trapecijos plotą?
3. Trapecijos aukštis 3 kartus didesnis už vieną iš pagrindų, bet perpus mažesnis už kitą. Raskite trapecijos pagrindus ir aukštį, jei trapecijos plotas yra 168 cm kvadrato?
4. Trikampyje ABC kampas A = kampu = 75 laipsniai. Raskite BC, jei trikampio plotas yra 36 cm kvadrato.
1. Trapecijos ABCD, kurios kraštinės yra AB ir CD, įstrižainės susikerta taške O
a) Palyginkite trikampių ABD ir ACD plotus
b) Palyginkite trikampių ABO ir CDO plotus
c) Įrodykite, kad OA*OB=OC*OD
2. Lygiašonio trikampio pagrindas yra susietas su kraštine kaip 4:3, o aukštis, nubrėžtas prie pagrindo, yra 30 cm. Raskite atkarpas, į kurias kampo pusiaukampis padalija šį aukštį.
3. Tiesė AM yra apskritimo liestinė, AB yra šio apskritimo styga. Įrodykite, kad kampas MAB matuojamas puse lanko AB, esančio kampo MAB viduje.
